Funciones
Funciones de variable compleja
Sea \(S \subset \mathbb{C}\) un conjunto no vacío. Una función de variable compleja es una función \(f: S \to \mathbb{C}\) que asigna a cada \(z \in S\) un único valor complejo \(f(z)\).
Una función real de variable compleja es una función \(f: S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{R}\), es decir, cuyo recorrido está contenido en \(\mathbb{R}\).
Una función compleja de variable compleja es una función \(f: S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}\). Toda función de este tipo puede descomponerse en dos funciones reales \(u, v: S \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\):
\[f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i\,v(x, y)\]
Se dice que \(u\) es la parte real de \(f\) y \(v\) la parte imaginaria.
El módulo \(f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}_{\geq 0}\), \(f(z) = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
El recorrido es \(\mathbb{R}_{\geq 0} \subset \mathbb{R}\), por lo que es una función real de variable compleja.
La curva exponencial \(f: [0, 2\pi) \to \mathbb{C}\), \(f(t) = \cos t + i \sin t\).
El dominio es \([0, 2\pi) \subset \mathbb{R}\), pero el recorrido es complejo.
Las siguientes funciones \(f: S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) son complejas de variable compleja:
(1) Conjugado: \(f(z) = \bar{z}\)
\[z = x + iy \Rightarrow u(x,y) = x,\quad v(x,y) = -y\]
(2) Inverso: \(f: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}\), \(f(z) = z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2}\)
(3) Cuadrado: \(f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + 2xy\,i\)
(4) Polinómica: \(f(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k z^k\), con \(a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{C}\)
(5) Racional: dados \(p\), \(q\) polinómicos, \[r: \{z \in \mathbb{C} : q(z) \neq 0\} \to \mathbb{C},\quad r(z) = \frac{p(z)}{q(z)}\]