Integrales de Darboux
Integrales de Darboux
Particiones y sumas de Darboux
Sea \([a,b] \subset \mathbb{R}\) con \(a < b\). Una partición de \([a,b]\) es un conjunto \(\Pi = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\} \subset [a,b]\) tal que \(x_0 = a < x_1 < \cdots < x_n = b\).
Se denota \(I_k = [x_{k-1}, x_k]\) para \(k = 1, \ldots, n\).
Se dice que \(\Pi'\) es más fina que \(\Pi\) si \(\Pi \subseteq \Pi'\).
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada y \(\Pi = \{x_0, \ldots, x_n\}\) una partición de \([a,b]\). Se definen:
\[m_k = \inf\{f(x) : x \in [x_{k-1}, x_k]\}, \qquad M_k = \sup\{f(x) : x \in [x_{k-1}, x_k]\}\]
La suma inferior y la suma superior de Darboux son:
\[s_\Pi(f) = \sum_{k=1}^{n} m_k\,(x_k - x_{k-1}), \qquad S_\Pi(f) = \sum_{k=1}^{n} M_k\,(x_k - x_{k-1})\]
Se tiene \(s_\Pi(f) \leq S_\Pi(f)\).
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada y \(\Pi\), \(\Pi'\) particiones con \(\Pi'\) más fina que \(\Pi\). Entonces:
\[s_{\Pi'}(f) \geq s_\Pi(f) \qquad \text{y} \qquad S_{\Pi'}(f) \leq S_\Pi(f)\]
Consecuencia: para cualesquiera particiones \(\Pi\), \(\Pi'\), se tiene \(s_\Pi(f) \leq S_{\Pi'}(f)\).
Caso de un punto adicional. Suponga \(\Pi' = \Pi \cup \{c\}\) con \(c \in (x_{K-1}, x_K)\). Sea \(\tilde{M} = \sup f|_{[x_{K-1},c]}\) y \(\tilde{\tilde{M}} = \sup f|_{[c,x_K]}\). Como ambos son supremos de subconjuntos, \(\tilde{M}, \tilde{\tilde{M}} \leq M_K\). Luego:
\[\tilde{M}(c-x_{K-1}) + \tilde{\tilde{M}}(x_K - c) \leq M_K(x_K - x_{K-1})\]
de donde \(S_{\Pi'}(f) \leq S_\Pi(f)\). El caso de suma inferior es análogo.
Caso general. Si \(\Pi'\) tiene \(m\) puntos más que \(\Pi\), se aplica el argumento anterior \(m\) veces.
Consecuencia. Sea \(\tilde{\Pi} = \Pi \cup \Pi'\). Entonces \(s_\Pi \leq s_{\tilde{\Pi}} \leq S_{\tilde{\Pi}} \leq S_{\Pi'}\).
Integral de Darboux e integrabilidad
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada con \(a < b\). Se definen:
\[\underline{\int_a^b} f(x)\,dx = \sup_\Pi\, s_\Pi(f) \quad \text{(integral inferior)}, \qquad \overline{\int_a^b} f(x)\,dx = \inf_\Pi\, S_\Pi(f) \quad \text{(integral superior)}\]
Se tiene \(\displaystyle\underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f\).
Se dice que \(f\) es integrable en \([a,b]\) si \(\displaystyle\underline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^b} f\), y en ese caso se escribe \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) para el valor común.
Convenciones: \(\displaystyle\int_c^c f = 0\) y \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\).
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada. Son equivalentes:
- \(f\) es integrable en \([a,b]\).
- \(\forall \varepsilon > 0\), existe una partición \(\Pi\) tal que \(S_\Pi(f) - s_\Pi(f) < \varepsilon\).
(1) \(\Rightarrow\) (2): Como \(f\) es integrable, por definición de supremo e ínfimo existen \(\Pi\), \(\Pi'\) tales que:
\[s_\Pi(f) > \int_a^b f - \frac{\varepsilon}{2}, \qquad S_{\Pi'}(f) < \int_a^b f + \frac{\varepsilon}{2}\]
Sea \(\tilde{\Pi} = \Pi \cup \Pi'\). Entonces \(S_{\tilde{\Pi}} - s_{\tilde{\Pi}} \leq S_{\Pi'} - s_\Pi < \varepsilon\).
(2) \(\Rightarrow\) (1): Dado \(\varepsilon > 0\), tome \(\Pi\) con \(S_\Pi - s_\Pi < \varepsilon\). Entonces:
\[0 \leq \overline{\int_a^b} f - \underline{\int_a^b} f \leq S_\Pi(f) - s_\Pi(f) < \varepsilon\]
Como \(\varepsilon\) es arbitrario, \(\overline{\int} f = \underline{\int} f\).
Sean \(a < c < b\) y \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada. Entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\) si y solo si es integrable en \([a,c]\) y en \([c,b]\), y en ese caso:
\[\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\]
Ejemplos de integrabilidad
Sea \(f(x) = c\) constante en \([a,b]\). Entonces \(f\) es integrable y \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = c(b-a)\).
Para cualquier partición \(\Pi\), \(m_k = M_k = c\), luego \(s_\Pi(f) = S_\Pi(f) = c(b-a)\).
La función
\[f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\]
no es integrable en ningún \([a,b]\) con \(a < b\).
En todo subintervalo hay racionales e irracionales (densidad). Luego \(m_k = 0\) y \(M_k = 1\) para toda partición, de donde \(\underline{\int} f = 0 \neq b-a = \overline{\int} f\).
Funciones integrables
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua. Entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\).
Como \(f\) es continua en \([a,b]\), por el Teorema de Heine-Cantor es uniformemente continua: \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists \delta > 0\) tal que \(|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \dfrac{\varepsilon}{b-a}\).
Tome la partición regular \(\Pi_n\) con \(n > (b-a)/\delta\) puntos. En cada \(I_k\), los extremos \(m_k = f(c_k)\) y \(M_k = f(d_k)\) satisfacen \(|c_k - d_k| \leq (b-a)/n < \delta\), luego \(M_k - m_k < \varepsilon/(b-a)\).
\[S_{\Pi_n}(f) - s_{\Pi_n}(f) = \sum_{k=1}^n (M_k - m_k)\frac{b-a}{n} < \frac{\varepsilon}{b-a}\cdot(b-a) = \varepsilon\]
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) acotada y continua salvo en un número finito de puntos. Entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\).
Una discontinuidad en \(c \in (a,b)\). Sea \(M > 0\) tal que \(|f(x)| \leq M\). Dado \(\varepsilon > 0\), elige \(\delta < \varepsilon/(4M)\) con \(c \pm \delta \in (a,b)\).
Como \(f\) es continua en \([a,c-\delta]\) y \([c+\delta,b]\), existen particiones \(\Pi_1\), \(\Pi_2\) con \(S_{\Pi_j} - s_{\Pi_j} < \varepsilon/3\).
La partición \(\Pi = \Pi_1 \cup \{c-\delta, c+\delta\} \cup \Pi_2\) satisface:
\[S_\Pi - s_\Pi < \frac{\varepsilon}{3} + 2M \cdot 2\delta + \frac{\varepsilon}{3} < \frac{2\varepsilon}{3} + 4M\cdot\frac{\varepsilon}{4M} = \varepsilon\]
Caso general: inducción en el número de discontinuidades.
Teorema Fundamental del Cálculo
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) integrable. La función integral de \(f\) es:
\[F:[a,b] \to \mathbb{R}, \qquad F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\]
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función integrable en \([a,b]\). Sea \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) la función integral.
- \(F\) es uniformemente continua en \([a,b]\).
- Si \(f\) es continua en \(x_0 \in [a,b]\), entonces \(F\) es derivable en \(x_0\) y \(F'(x_0) = f(x_0)\).
- Si \(G\) es una primitiva de \(f\) en \([a,b]\), entonces: \[\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)\]
Parte 1: continuidad uniforme de \(F\).
Como \(f\) es integrable, es acotada: \(\exists M > 0\) tal que \(|f(t)| \leq M\). Para \(x, y \in [a,b]\): \[|F(x) - F(y)| = \left|\int_y^x f(t)\,dt\right| \leq M|x-y|\]
Dado \(\varepsilon > 0\), tome \(\delta = \varepsilon/M\): si \(|x-y| < \delta\) entonces \(|F(x)-F(y)| < \varepsilon\).
Parte 2: \(F'(x_0) = f(x_0)\) cuando \(f\) es continua en \(x_0\).
Para \(h > 0\) con \(|h| < \delta\) (donde \(\delta\) viene de la continuidad de \(f\) en \(x_0\)): \[\left|\frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)\right| = \frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}(f(t) - f(x_0))\,dt\right| < \varepsilon\]
Parte 3: Si \(G\) es primitiva de \(f\), entonces \(G' = F'\), luego \(G - F\) es constante. Evaluando en \(x = a\): \(G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t)\,dt\).
Métodos de integración
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) con primitiva \(F\), y \(g:[\alpha,\beta] \to [a,b]\) derivable. Entonces:
\[\int_{\alpha}^{\beta} (f \circ g)(x)\,g'(x)\,dx = F(g(\beta)) - F(g(\alpha))\]
Por la regla de la cadena: \((F \circ g)'(x) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))\cdot g'(x)\).
Luego \(F \circ g\) es primitiva de \((f\circ g)\cdot g'\), y por el TFC:
\[\int_\alpha^\beta (f\circ g)(x)\,g'(x)\,dx = (F\circ g)(\beta) - (F\circ g)(\alpha)\]
Sean \(u, v:[a,b] \to \mathbb{R}\) derivables con \(u'v\) y \(uv'\) integrables. Entonces:
\[\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx\]
Por la regla del producto: \((u\,v)' = u'v + uv'\).
Integrando en \([a,b]\) y usando el TFC:
\[u(x)v(x)\Big|_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx\]
Despejando:
\[\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx\]