Cómo demostrar
A menudo, las matemáticas del colegio suponen resolver ecuaciones y realizar operaciones mediante procesos bien definidos. Sin embargo, las matemáticas universitarias exigen también enfrentarse a funciones, conjuntos y estructuras abstractas. Lo que une todos estos conocimientos es el razonamiento deductivo, que se presenta en forma de pruebas y demostraciones.
Lógica simbólica
Una expresión booleana \(E\) está conformada por:
- Constantes: \(\top\) (verdad) y \(\bot\) (falsedad)
- Variables booleanas (letras minúsculas: \(p, q, r, \ldots\))
- Operadores: \(\neg,\ \land,\ \lor,\ \Rightarrow,\ \Leftarrow,\ \Leftrightarrow\)
Usando las variables \(p\): “mañana nevará” y \(q\): “mañana lloverá”:
| Símbolo | Nombre | Ejemplo | Significado |
|---|---|---|---|
| \(\neg\) | negación | \(\neg p\) | Mañana no nevará |
| \(\lor\) | disyunción | \(p \lor q\) | Mañana nevará o lloverá |
| \(\land\) | conjunción | \(p \land q\) | Mañana nevará y lloverá |
| \(\Rightarrow\) | implicación | \(p \Rightarrow q\) | Si nieva, entonces llueve |
| \(\Leftarrow\) | consecuente | \(p \Leftarrow q\) | Que llueva es consecuencia de que nieve |
| \(\Leftrightarrow\) | equivalencia | \(p \Leftrightarrow q\) | Nieva si y solo si llueve |
Cualquier proposición matemática puede expresarse en lógica simbólica.
“Si \(p\) es primo y divide a \(ab\), entonces divide a \(a\) o a \(b\)”:
\[r \land s \Rightarrow t \lor u\]
“\(f(a)=0\) si y solo si \((x-a)\) divide a \(f(x)\)”:
\[r \land s \Rightarrow (t \Leftrightarrow u)\]
Teoremas de lógica
Los siguientes son los teoremas de lógica más usados en demostraciones:
\[p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\]
\[p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p\]
\[p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q\]
\[\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \qquad \neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q\]
\[(p \Rightarrow r) \land (q \Rightarrow r) \equiv p \lor q \Rightarrow r\] \[(p \Rightarrow r) \land (\neg p \Rightarrow r) \equiv r\]
\[p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \equiv p \land q \Rightarrow r\]
\[p \lor \neg p \equiv \top \qquad \neg\neg p \equiv p\]
\[p \land q \Rightarrow p \qquad p \Rightarrow p \lor q \qquad p \land q \Rightarrow p \lor q\]
Métodos de demostración
Para demostrar \(P \Rightarrow Q\): suponer \(P\) verdadero y deducir \(Q\) mediante resultados conocidos.
Ejemplo: si \(x > 3\) e \(y < 2\), entonces \(x^2 - 2y > 5\).
De \(x > 3\): \(x^2 > 3x > 9\). De \(y < 2\): \(-2y > -4\). Sumando: \[x^2 - 2y > 9 - 4 = 5\]
Para demostrar \(P \Rightarrow Q\), basta demostrar \(\neg Q \Rightarrow \neg P\), pues son equivalentes por el teorema del contrarrecíproco.
- Para demostrar \(P \lor Q \Rightarrow R\): demostrar \(P \Rightarrow R\) y \(Q \Rightarrow R\) por separado.
- Para demostrar \(R\) directamente: encontrar \(P\) tal que \(P \Rightarrow R\) y \(\neg P \Rightarrow R\).
Para demostrar \(P\): suponer \(\neg P\) y derivar una contradicción.
Para demostrar \(P \Rightarrow Q\): suponer \(P\) y \(\neg Q\) simultáneamente y llegar a una contradicción, usando que: \[\neg(P \Rightarrow Q) \equiv \neg(\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q\]
Cuantificación y lógica de predicados
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