Construcción Axiomática

Este desarrollo de los números reales es axiomático, partimos de la base de que \(\mathbb{R}\) es un conjunto no vacío que cumple ciertas propiedades. Estas propiedades, desde un punto de vista algebráico, le otorgan el carácter de cuerpo ordenado completo.

Construcción Axiomática

Axiomas de cuerpo

Axiomas de suma

Axioma — Conmutatividad de la suma

Para todo \(a,b \in \mathbb{R}\): \(a + b = b + a\)

Axioma — Asociatividad de la suma

Para todo \(a,b,c \in \mathbb{R}\): \((a + b) + c = a + (b + c)\)

Axioma — Elemento neutro de la suma

Existe \(0 \in \mathbb{R}\) tal que para todo \(a \in \mathbb{R}\): \(a + 0 = 0 + a = a\)

Axioma — Elemento opuesto de la suma

Para todo \(a \in \mathbb{R}\) existe \((-a) \in \mathbb{R}\) tal que: \(a + (-a) = 0\)

Axiomas de producto

Axioma — Conmutatividad del producto

Para todo \(a,b \in \mathbb{R}\): \(a \cdot b = b \cdot a\)

Axioma — Asociatividad del producto

Para todo \(a,b,c \in \mathbb{R}\): \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

Axioma — Elemento neutro del producto

Existe \(1 \in \mathbb{R}\) tal que para todo \(a \in \mathbb{R}\): \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\)

Axioma — Elemento inverso del producto

Para todo \(a \neq 0\) existe \(a^{-1} \in \mathbb{R}\) tal que: \(a \cdot a^{-1} = 1\)

Axioma — Distributividad

Para todo \(a,b,c \in \mathbb{R}\): \(a(b + c) = ab + ac\)

Axiomas de orden

Axioma — Reflexividad del orden

Para todo \(a \in \mathbb{R}\): \(a \leq a\)

Axioma — Antisimetría del orden

Para todo \(a,b \in \mathbb{R}\): \(a \leq b \land b \leq a \Rightarrow a = b\)

Axioma — Transitividad del orden

Para todo \(a,b,c \in \mathbb{R}\): \(a \leq b \land b \leq c \Rightarrow a \leq c\)

Axioma — Compatibilidad del orden con la suma

Para todo \(a,b,c \in \mathbb{R}\): \(a \leq b \Rightarrow a + c \leq b + c\)

Axioma — Compatibilidad del orden con el producto

Para todo \(a,b,c \in \mathbb{R}\): \(a \leq b \land c \geq 0 \Rightarrow ac \leq bc\)

Axioma de completitud

Axioma — Completitud

Todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene un supremo en \(\mathbb{R}\).

Definición — Cota superior e inferior

Sea \(A \subset \mathbb{R}\).

\(C\) es cota superior de \(A\) si \(\forall a \in A,\ a \le C\).
\(C\) es cota inferior de \(A\) si \(\forall a \in A,\ a \ge C\).

Se dice que \(A\) es acotado superiormente (resp. inferiormente) si existe al menos una cota superior (resp. inferior).

Definición — Supremo e ínfimo

Sea \(A \subset \mathbb{R}\) no vacío y acotado superiormente. Se dice que \(c = \sup A\) si:

\(c\) es cota superior de \(A\): \(\forall a \in A,\ a \le c\).
\(c\) es la menor cota superior: \(\forall k\) cota superior de \(A,\ c \le k\).

Equivalentemente, \(c = \sup A\) si y sólo si:

\(c\) es cota superior de \(A\).
\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A\) tal que \(a > c - \varepsilon\).

El ínfimo \(\inf A\) se define simétricamente como la mayor cota inferior.

Teorema — Relación entre ínfimo y supremo

Sea \(A \subset \mathbb{R}\) no vacío y acotado. Entonces:

\(\inf A \le \sup A\).
Si \(\inf A = \sup A\), entonces \(A = \{a\}\) para algún \(a \in \mathbb{R}\).

Teorema — Principio de Arquímedes

Para todo \(a \in \mathbb{R}\), existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(n > a\).

Consecuencia: entre dos números reales siempre existe un racional y un irracional (densidad de \(\mathbb{Q}\) e irracionales en \(\mathbb{R}\)).

Teorema — Caracterización del supremo por sucesiones

Sea \(A \subset \mathbb{R}\) no vacío y acotado superiormente. Entonces \(s = \sup A\) si y sólo si:

\(s\) es cota superior de \(A\).
Existe una sucesión \((a_n) \subset A\) tal que \(a_n \to s\).

Valor Absoluto

Teorema — Definición de Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real \(a\) se define como:

\[|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}\]

Teorema — Caracterización del Valor Absoluto

Para \(a \in \mathbb{R}\) y \(b \ge 0\), \(|a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b\).

Teorema — Multiplicatividad del Valor Absoluto

Para todo \(a,b \in \mathbb{R}\), \(|ab| = |a| \cdot |b|\).

Teorema — Cociente del Valor Absoluto

Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\) con \(b \neq 0\), \(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\).

Teorema — Cota Inferior del Valor Absoluto

Para todo \(a \in \mathbb{R}\), \(a \le |a|\).

Teorema — Desigualdad del triángulo invertida

Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\), \(||a| - |b|| \le |a - b|\).

Teorema — Desigualdad triangular

Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\), \(|a + b| \le |a| + |b|\).

Teorema — Desigualdad triangular generalizada

Para \(a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R}\): \[\left|\sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|\]

Teorema — Definición equivalente del valor absoluto

Para todo \(a \in \mathbb{R}\): \(\sqrt{a^2} = |a|\).