Herramientas del Análisis
Exponenciales y Logaritmos
Para \(a \in \mathbb{R}\) y \(n \in \mathbb{N}\):
- \(a^0 = 1\)
- \(a^{n+1} = a^n \cdot a\), \(n \ge 0\)
- \(a^{-n} = 1 / a^n\)
Para \(a > 0\) y \(m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\): \[a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\]
Para \(a,b > 0\) y \(r,s \in \mathbb{Q}\):
- \(a^r a^s = a^{r+s}\)
- \((a^r)^s = a^{rs}\)
- \(a^r / a^s = a^{r-s}\)
- \((ab)^r = a^r b^r\)
- \(a^1 = a\), \(a^0 = 1\)
Para \(a > 0\) y \(r \in \mathbb{R}\): \[a^r = \sup\{a^q : q \in \mathbb{Q}, q < r\} = \inf\{a^q : q \in \mathbb{Q}, q > r\}\]
\[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\] donde \(2 < e < 3\)
La sucesión \(a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) es estrictamente creciente.
Por la desigualdad de medias aritmética-geométrica aplicada a \(n+1\) números donde \(n\) de ellos son \(\frac{n+1}{n}\) y uno es \(1\): \[\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot 1 \leq \left(\frac{n \cdot \frac{n+1}{n} + 1}{n+1}\right)^{n+1} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\] Multiplicando ambos lados por \(\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\), se obtiene \(a_n < a_{n+1}\).
Alternativamente, usando el Teorema del Binomio de Newton: \[a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\] Cada término \(\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} = \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\) es creciente en \(n\), y \(a_{n+1}\) tiene un término adicional positivo, por lo tanto \(a_n < a_{n+1}\).
Para \(y > 0\): \[\log(y) = \sup\{x \in \mathbb{R} : e^x < y\}\] Es la función inversa de \(e^x\).
Para \(a,b > 0\):
- \(\log(ab) = \log(a) + \log(b)\)
- \(\log(a^b) = b \log(a)\)
Sean \(r = \log x\) y \(s = \log y\), es decir \(x = e^r\) y \(y = e^s\). Entonces: \[xy = e^r \cdot e^s = e^{r+s}\] Aplicando \(\log\) a ambos lados: \(\log(xy) = r + s = \log x + \log y\).
Desigualdades Notables
Para \(h > -1\) y \(n \in \mathbb{N}\): \[(1 + h)^n \ge 1 + nh\]
Sean \(a_1, a_2, \dots, a_n\) y \(b_1, b_2, \dots, b_n\) números reales: \[(\sum a_i b_i)^2 \le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\]
Para \(a_1, a_2, \dots, a_n > 0\): \[\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}\] En particular, para dos números: \[\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\]
Para \(a, b \in \mathbb{R}\): \[\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \sqrt{a^2 b^2} = |ab|\]
Para \(x, y \in \mathbb{R}\): \[|x| = |x - y + y| \le |x - y| + |y|\] Técnica estándar en demostraciones \(\varepsilon\)-\(\delta\): acotar \(|f(x) - L| \le |f(x) - g(x)| + |g(x) - L|\).
Sea \(f:I \to \mathbb{R}\) una función \(n\) veces derivable en un intervalo \(I\) y sea \(a \in I\). Entonces para todo \(x \in I\) existe \(c\) entre \(a\) y \(x\) tal que: \[f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n\]
Álgebra y Herramientas Combinatorias
Para \(a, b \in \mathbb{R}\): \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
Para \(a, b \in \mathbb{R}\) y \(m \in \mathbb{N}\): \[(a + b)^m = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} a^{m-i} b^i\]
Para \(a, b \in \mathbb{R}\) y \(k \in \mathbb{N}\): \[a^k - b^k = (a - b)\sum_{i=0}^{k-1} a^{k-1-i}\, b^i\]
Para \(a \ne 1\) y \(n \in \mathbb{N}\): \[1 + a + a^2 + \cdots + a^n = \frac{a^{n+1} - 1}{a - 1}\]
\[1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]
Para \(n \in \mathbb{N}\): \[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\]
Trigonometría
Para \(x \in (0, \pi/2)\): \[\sin x \le x \le \tan x\] Esta propiedad es clave para probar que \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad \tan^2 x + 1 = \sec^2 x, \qquad 1 + \cot^2 x = \csc^2 x\]
\[\sin 2x = 2\sin x \cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\]
\[\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\] \[\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\]
\[\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\]