Derivadas
Derivadas
Definición y propiedades básicas
Dada una función \(f\) definida en \((a,b)\) y \(x_0 \in (a,b)\). Se dice que \(f\) es derivable en \(x_0\) si existe el límite
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]
En ese caso, \(f'(x_0)\) es la derivada de \(f\) en \(x_0\).
Si \(f\) es derivable en \(x_0\), entonces \(f\) es continua en \(x_0\).
Como \(f\) es derivable en \(x_0\):
\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]
Como \(\lim_{x \to x_0}(x - x_0) = 0\), por álgebra de límites:
\[\lim_{x \to x_0}(f(x) - f(x_0)) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot \lim_{x \to x_0}(x-x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0\]
Luego \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\), es decir, \(f\) es continua en \(x_0\).
Reglas de derivación
Si \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\) y \(\lambda \in \mathbb{R}\), entonces:
- \((f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)\)
- \((\lambda f)'(x_0) = \lambda f'(x_0)\)
Si \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\), entonces \(f \cdot g\) es derivable en \(x_0\) y:
\[(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\,g(x_0) + f(x_0)\,g'(x_0)\]
Por definición de derivada:
\[(f \cdot g)'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)\,g(x_0+h) - f(x_0)\,g(x_0)}{h}\]
Sumamos y restamos \(f(x_0)\,g(x_0+h)\) en el numerador:
\[= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)(g(x_0+h)-g(x_0)) + g(x_0+h)(f(x_0+h)-f(x_0))}{h}\]
\[= \lim_{h \to 0} f(x_0+h) \cdot \frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h} + \lim_{h \to 0} g(x_0+h) \cdot \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
Como \(f\) es derivable, es continua, luego \(f(x_0+h) \to f(x_0)\) y \(g(x_0+h) \to g(x_0)\) cuando \(h \to 0\):
\[(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)\,g'(x_0) + g(x_0)\,f'(x_0)\]
La función \(r(x) = 1/x\) es derivable en todo \(x \neq 0\) y \(r'(x) = -x^{-2}\).
\[r'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}\]
Si \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\) y \(g(x_0) \neq 0\), entonces \(f/g\) es derivable en \(x_0\) y:
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0)\,g(x_0) - f(x_0)\,g'(x_0)}{g(x_0)^2}\]
Escribimos \(f/g = f \cdot (r \circ g)\) donde \(r(x) = 1/x\). Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena:
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = f'(x_0)\cdot\frac{1}{g(x_0)} + f(x_0)\cdot(r \circ g)'(x_0)\]
Por regla de la cadena: \((r \circ g)'(x_0) = r'(g(x_0))\cdot g'(x_0) = -g(x_0)^{-2}\cdot g'(x_0)\). Luego:
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0)}{g(x_0)} - \frac{f(x_0)\,g'(x_0)}{g(x_0)^2} = \frac{f'(x_0)\,g(x_0) - f(x_0)\,g'(x_0)}{g(x_0)^2}\]
Regla de la cadena
Sean \(g\) derivable en \(x_0\) y \(f\) derivable en \(g(x_0)\). Entonces \(f \circ g\) es derivable en \(x_0\) y:
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)\]
Defina la función auxiliar:
\[\ell(k) = \begin{cases} \dfrac{f(g(x_0)+k) - f(g(x_0))}{k} - f'(g(x_0)) & \text{si } k \neq 0 \\ 0 & \text{si } k = 0 \end{cases}\]
Como \(f\) es derivable en \(g(x_0)\), se tiene \(\lim_{k\to 0}\ell(k) = 0\), luego \(\ell\) es continua en \(k=0\).
De la definición de \(\ell\), para todo \(k\) (incluyendo \(k=0\)):
\[f(g(x_0)+k) - f(g(x_0)) = \ell(k)\cdot k + f'(g(x_0))\cdot k \qquad (*)\]
Sea \(K = g(x_0+h) - g(x_0)\). Sustituyendo \((*)\) con \(k = K\):
\[\frac{(f\circ g)(x_0+h) - (f\circ g)(x_0)}{h} = \ell(K)\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h} + f'(g(x_0))\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\]
Tomando límite cuando \(h \to 0\): como \(g\) es continua en \(x_0\), \(K \to 0\), luego \(\ell(K) \to 0\):
\[(f\circ g)'(x_0) = 0\cdot g'(x_0) + f'(g(x_0))\cdot g'(x_0) = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)\]
Función inversa
Si \(f\) es estrictamente monótona en \([a,b]\), derivable en \(c \in (a,b)\) y \(f'(c) \neq 0\), entonces \(f^{-1}\) es derivable en \(f(c)\) y:
\[(f^{-1})'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)}\]
Sea \(K = f^{-1}(f(c)+\Delta) - c\), de modo que \(\Delta = f(c+K)-f(c)\).
Cuando \(\Delta \to 0\), como \(f\) es continua y estrictamente monótona, se tiene \(K \to 0\). Entonces:
\[\lim_{\Delta \to 0} \frac{f^{-1}(f(c)+\Delta) - f^{-1}(f(c))}{\Delta} = \lim_{K \to 0} \frac{K}{f(c+K)-f(c)} = \frac{1}{f'(c)}\]
Teoremas del Cálculo Diferencial
Extremos locales
Si \(f:(a,b) \to \mathbb{R}\), \(x_0 \in (a,b)\) es un máximo o mínimo local de \(f\), y \(f\) es derivable en \(x_0\), entonces \(f'(x_0) = 0\).
Sin pérdida de generalidad, suponga que \(x_0\) es mínimo local de \(f\).
Derivada lateral derecha. Para \(x > x_0\): \(x - x_0 > 0\) y \(f(x) - f(x_0) \geq 0\), luego: \[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geq 0 \implies f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geq 0\]
Derivada lateral izquierda. Para \(x < x_0\): \(x - x_0 < 0\) y \(f(x) - f(x_0) \geq 0\), luego: \[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0 \implies f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0\]
Como \(f\) es derivable, ambas derivadas laterales son iguales, y se tiene \(0 \leq f'(x_0) \leq 0\), luego \(f'(x_0) = 0\).
Teoremas de valor medio
Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f(a) = f(b)\), entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que \(f'(c) = 0\).
Como \(f\) es continua en \([a,b]\), por el Teorema de Weierstrass alcanza su máximo en \(x_1\) y su mínimo en \(x_2\).
Caso 1: Alguno de \(x_1\), \(x_2\) está en el interior \((a,b)\). Entonces por el Teorema de Fermat, \(f'(x_1) = 0\) o \(f'(x_2) = 0\).
Caso 2: \(x_1\) y \(x_2\) están ambos en los extremos. Como \(f(a) = f(b)\), el máximo y mínimo son iguales, luego \(f\) es constante y \(f' = 0\).
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). Entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que: \[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Considere la función auxiliar: \[g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) - f(a)\]
Se verifica que \(g(a) = 0\) y \(g(b) = 0\). Por el Teorema de Rolle, existe \(c \in (a,b)\) tal que \(g'(c) = 0\): \[g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \implies f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Si \(f\) y \(g\) son continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\), entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que:
\[(f(b) - f(a))\,g'(c) = (g(b) - g(a))\,f'(c)\]
Si además \(g'(x) \neq 0\) para todo \(x \in (a,b)\), entonces \(g(b) \neq g(a)\) y:
\[\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}\]
Defina la función auxiliar:
\[h(x) = (f(b)-f(a))(g(x)-g(a)) - (g(b)-g(a))(f(x)-f(a))\]
Se verifica que \(h(a) = 0\) y \(h(b) = 0\). Por el Teorema de Rolle, existe \(c \in (a,b)\) tal que \(h'(c) = 0\):
\[h'(c) = (f(b)-f(a))\,g'(c) - (g(b)-g(a))\,f'(c) = 0\]
Consecuencias del teorema del valor medio
Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f'(x) = 0\) para todo \(x \in (a,b)\), entonces \(f\) es constante en \([a,b]\).
Sea \(x'' \in (a,b]\) arbitrario. Aplique el Teorema del Valor Medio a \(f\) en \([a, x'']\): existe \(c \in (a, x'')\) tal que:
\[f(x'') - f(a) = f'(c)(x'' - a) = 0\]
Luego \(f(x'') = f(a)\) para todo \(x'' \in (a,b]\).
Si \(f\) y \(g\) son continuas en \([a,b]\), derivables en \((a,b)\) y \(f'(x) = g'(x)\) para todo \(x \in (a,b)\), entonces existe \(K \in \mathbb{R}\) tal que \(f(x) = g(x) + K\) para todo \(x \in [a,b]\).
Sea \(h(x) = f(x) - g(x)\). Entonces \(h'(x) = 0\) en \((a,b)\). Por el teorema anterior, \(h\) es constante: \(h(x) = K\).
Sea \(f\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\):
- Si \(f'(x) > 0\) para todo \(x \in (a,b)\), entonces \(f\) es estrictamente creciente en \([a,b]\).
- Si \(f'(x) < 0\) para todo \(x \in (a,b)\), entonces \(f\) es estrictamente decreciente en \([a,b]\).
Regla de L’Hôpital
Sean \(f\) y \(g\) definidas y derivables en \((a,b)\), \(x_0 \in (a,b)\), con \(f(x_0) = g(x_0) = 0\) y \(g'(x) \neq 0\) para \(x \neq x_0\).
Si existe \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \ell\), entonces:
\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \ell\]
Dado \(\varepsilon > 0\), existe \(\delta > 0\) tal que \(0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow \left|\dfrac{f'(x)}{g'(x)} - \ell\right| < \varepsilon\).
Para \(x\) con \(0 < |x - x_0| < \delta\), como \(f(x_0) = g(x_0) = 0\), por el Teorema de Cauchy existe \(c\) entre \(x\) y \(x_0\) tal que:
\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}\]
Como \(c \to x_0\) cuando \(x \to x_0\):
\[\left|\frac{f(x)}{g(x)} - \ell\right| = \left|\frac{f'(c)}{g'(c)} - \ell\right| < \varepsilon\]
Sean \(f\) y \(g\) derivables en \((a,b) \setminus \{x_0\}\) con \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty\) y \(g'(x) \neq 0\).
Si existe \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \ell\), entonces \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \ell\).
Dado \(\varepsilon > 0\), existe \(\delta_1 > 0\) tal que \(0 < |x - x_0| < \delta_1 \Rightarrow \left|\dfrac{f'(x)}{g'(x)} - \ell\right| < \dfrac{\varepsilon}{4}\).
Fije \(x_1 = x_0 + \delta_1\). Para \(x\) con \(0 < |x - x_0| < \delta_1\), por el Teorema de Cauchy existe \(c\) entre \(x\) y \(x_1\) tal que:
\[\frac{f(x) - f(x_1)}{g(x) - g(x_1)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}\]
Por la desigualdad triangular:
\[\left|\frac{f(x)}{g(x)} - \ell\right| \leq \left|\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}\right|\cdot\left|\frac{f'(c)}{g'(c)} - \ell\right| + \left|\frac{f(x_1) - g(x_1)\ell}{g(x)}\right|\]
Como \(g(x) \to \infty\), existen \(\delta_2\), \(\delta_3\) tales que ambos sumandos son \(< \varepsilon/2\) para \(|x-x_0| < \min(\delta_2, \delta_3)\). Tomando \(\delta = \min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)\) concluimos \(\left|\dfrac{f(x)}{g(x)} - \ell\right| < \varepsilon\).