Conceptos Básicos
Los números complejos se construyen como una extensión de los números reales a partir de pares ordenados, dotados de operaciones de suma y producto que preservan la aritmética real y permiten extraer raíces de números negativos.
Definición y operaciones
Un número complejo es un par ordenado \(z = (x, y)\) con \(x, y \in \mathbb{R}\).
El conjunto de todos los números complejos se denota \(\mathbb{C} = \mathbb{R}^2\).
Sea \(z = (x, y) \in \mathbb{C}\). Se define:
- Parte real: \(\operatorname{Re}(z) = x\)
- Parte imaginaria: \(\operatorname{Im}(z) = y\)
Sean \(z_1 = (x_1, y_1)\) y \(z_2 = (x_2, y_2)\) números complejos. Se definen:
Suma: \[(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2)\]
Producto: \[(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2,\ x_1 y_2 + x_2 y_1)\]
Forma algebráica
Los números reales se identifican con los complejos de la forma \((x, 0)\), y se introduce la unidad imaginaria:
Se define \(i = (0, 1)\). De la regla del producto:
\[i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1,\ 0\cdot 1 + 0\cdot 1) = (-1, 0)\]
Es decir, \(i^2 = -1\), o equivalentemente \(i = \sqrt{-1}\).
Las potencias de \(i\) son periódicas con período 4. Para todo \(k \in \mathbb{Z}\):
\[i^k = \begin{cases} 1 & \text{si } k \equiv 0 \pmod{4} \\ i & \text{si } k \equiv 1 \pmod{4} \\ -1 & \text{si } k \equiv 2 \pmod{4} \\ -i & \text{si } k \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\]
Con estas identificaciones, todo número complejo se escribe como:
Todo \(z = (x, y) \in \mathbb{C}\) se puede escribir en forma binómica:
\[z = x + iy\]
donde \(x = \operatorname{Re}(z)\) e \(y = \operatorname{Im}(z)\).
Sean \(z_1 = x_1 + iy_1\) y \(z_2 = x_2 + iy_2\). El producto en forma binómica es:
\[z_1 \cdot z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)\]
lo cual se obtiene distribuyendo y usando \(i^2 = -1\):
\[(x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1 x_2 + ix_1 y_2 + ix_2 y_1 + i^2 y_1 y_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)\]
Sean \(z, w \in \mathbb{C}\) y \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geq 2\). Entonces:
\[ (z + w)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^{n-k} w^k \]
donde \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
Estructura de cuerpo
\((\mathbb{C}, +, \cdot)\) forma un cuerpo: la suma y el producto son conmutativos, asociativos, existe elemento neutro para cada operación (\(0 = (0,0)\) y \(1 = (1,0)\)), todo elemento tiene opuesto aditivo, y todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. La distributividad se hereda de \(\mathbb{R}\).
Todo \(z = x + iy \neq 0\) tiene inverso multiplicativo:
\[z^{-1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i\frac{y}{x^2 + y^2}\]
Módulo y conjugado
Sea \(z = x + iy \in \mathbb{C}\). El módulo de \(z\) es:
\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \in \mathbb{R}_{\geq 0}\]
Geométricamente, \(|z|\) es la distancia del punto \((x,y)\) al origen en el plano complejo.
Sean \(z, w \in \mathbb{C}\). Entonces:
- \(|zw| = |z|\,|w|\)
- \(|z + w| \leq |z| + |w|\) (desigualdad triangular)
- \(\bigl||z| - |w|\bigr| \leq |z - w|\)
- \(|z^2| = |z|^2\)
- \(\left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} z_k\right| \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{n} |z_k|\)
Para todo \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\):
\[|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\]
Dados \(z, w \in \mathbb{C}\):
\[ |z + w|^2 = (z + w)\,\overline{(z + w)} = (z + w)(\bar{z} + \bar{w}) = z\bar{z} + z\bar{w} + w\bar{z} + w\bar{w} \]
\[ = |z|^2 + z\bar{w} + \overline{z\bar{w}} + |w|^2 = |z|^2 + 2\,\operatorname{Re}(z\bar{w}) + |w|^2 \]
\[ \leq |z|^2 + 2|z\bar{w}| + |w|^2 = |z|^2 + 2|z|\,|w| + |w|^2 = \bigl(|z| + |w|\bigr)^2 \]
Por tanto \(|z + w| \leq |z| + |w|\).
Para todo \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\):
\[|z_1 + z_2| \geq \big||z_1| - |z_2|\big|\]
\[ |z| = |z - w + w| \leq |z - w| + |w| \Rightarrow |z| - |w| \leq |z - w| \]
Análogamente, \(|w| - |z| \leq |z - w|\). Por lo tanto:
\[ -|z - w| \leq |z| - |w| \leq |z - w| \Rightarrow \bigl||z| - |w|\bigr| \leq |z - w| \]
Sea \(z = x + iy \in \mathbb{C}\). El conjugado de \(z\) es:
\[\bar{z} = x - iy\]
Geométricamente, \(\bar{z}\) es la reflexión de \(z\) respecto al eje real en el plano complejo.
Sean \(z, w \in \mathbb{C}\).
- \(\bar{\bar{z}} = z\)
- \(|\bar{z}| = |z|\)
- \(\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}\)
- \(\overline{zw} = \bar{z}\,\bar{w}\)
- \(z\bar{z} = |z|^2\)
- Si \(w \neq 0\): \(\quad z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2}\)
- \(z + \bar{z} = 2\,\operatorname{Re}(z)\) \(\quad\) y \(\quad\) \(z - \bar{z} = 2i\,\operatorname{Im}(z)\)
- \(z = \bar{z}\) si y solo si \(z \in \mathbb{R}\)
\[ z \cdot \bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - ixy + ixy - i^2 y^2 = x^2 + y^2 = |z|^2 \]
Topología del plano complejo
Sean \(r > 0\) y \(z_0 \in \mathbb{C}\). El disco abierto de radio \(r\) y centro \(z_0\) es:
\[ D(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| < r\} \]
También se llama entorno o vecindad de \(z_0\). El entorno reducido es:
\[ D^*(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : 0 < |z - z_0| < r\} \]
Sea \(S \subset \mathbb{C}\) y \(z \in \mathbb{C}\).
- \(z\) es interior a \(S\) si existe \(r > 0\) tal que \(D(z, r) \subset S\).
- \(z\) es frontera de \(S\) si para todo \(r > 0\): \(D(z, r) \cap S \neq \emptyset\) y \(D(z, r) \cap (\mathbb{C} \setminus S) \neq \emptyset\).
- \(z\) es exterior a \(S\) si no es ni interior ni frontera.
Observaciones:
- Si \(z\) es interior a \(S\), entonces \(z \in S\).
- Si \(z\) es exterior a \(S\), entonces \(z \notin S\).
- Si \(z\) es frontera de \(S\), puede pertenecer o no a \(S\).
Se definen los conjuntos:
\[ S^\circ = \{z \in \mathbb{C} : z \text{ es punto interior de } S\} \] \[ \partial S = \{z \in \mathbb{C} : z \text{ es punto frontera de } S\} \]
Decimos que \(S\) es abierto si \(S = S^\circ\), y cerrado si \(\partial S \subseteq S\).
La clausura de \(S \subset \mathbb{C}\) es:
\[ \bar{S} = S \cup \partial S \]
Decimos que \(S\) es convexo si para todo \(z, w \in S\), el segmento que los une está contenido en \(S\).
Un dominio es un conjunto \(S \subset \mathbb{C}\) no vacío, abierto y conexo.
Una región es un dominio junto con algunos, ninguno o todos sus puntos frontera.
Sea \(S \subset \mathbb{C}\). Decimos que \(S\) es acotado si existe \(R > 0\) tal que \(|z| \leq R\) para todo \(z \in S\).
Sea \(S \subset \mathbb{C}\) y \(z \in \mathbb{C}\). Decimos que \(z\) es punto de acumulación de \(S\) si todo entorno reducido \(D^*(z, r)\) contiene al menos un punto de \(S\).
Sea \(S \subset \mathbb{C}\). \(S\) es cerrado si y solo si \(S\) contiene todos sus puntos de acumulación.