Límites y Continuidad
Límites y Continuidad
Límites de funciones reales
Sea \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\), se dice que \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = l\) si \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) tal que \(0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon\).
Si una función tiene límite en un punto, este es único.
Supongamos que \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1\) y \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l_2\) con \(l_1 \neq l_2\). Sea \(\varepsilon = \frac{|l_1 - l_2|}{2} > 0\).
Existen \(\delta_1, \delta_2 > 0\) tales que: - \(0 < |x - x_0| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - l_1| < \varepsilon\) - \(0 < |x - x_0| < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - l_2| < \varepsilon\)
Para \(\delta = \min(\delta_1, \delta_2)\) y cualquier \(x\) con \(0 < |x - x_0| < \delta\): \[|l_1 - l_2| \leq |l_1 - f(x)| + |f(x) - l_2| < \varepsilon + \varepsilon = |l_1 - l_2|\] Contradicción. Por tanto \(l_1 = l_2\).
Sean \(f, g, h\) funciones definidas en \((a,b)\), salvo quizás en \(x_0 \in (a,b)\). Si \[g(x) \le f(x) \le h(x)\] y \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l\), entonces \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l\).
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
Para \(x \in (0, \pi/2)\), la comparación de áreas geométricas en el círculo unitario da: \[\sin x < x < \tan x\]
Dividiendo por \(\sin x > 0\): \[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \quad \Rightarrow \quad \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\]
Como \(\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1\), por el Teorema del Sandwich: \[\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\]
Para \(x \in (-\pi/2, 0)\), se usa que \(\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin(-x)}{-x}\) (función par), obteniendo el mismo límite lateral. Por tanto \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).
Sea \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\).
Si \(b > l\), entonces existe \(\delta > 0\) tal que \(f(x) < b\) para todo \(x\) con \(0 < |x - x_0| < \delta\).
Si \(b < l\), entonces existe \(\delta > 0\) tal que \(f(x) > b\) para todo \(x\) con \(0 < |x - x_0| < \delta\).
(a) Sea \(\varepsilon = b - l > 0\). Existe \(\delta > 0\) con \(|f(x) - l| < \varepsilon\) para \(0 < |x - x_0| < \delta\). Entonces \(f(x) < l + \varepsilon = l + (b-l) = b\).
(b) Sea \(\varepsilon = l - b > 0\). Existe \(\delta > 0\) con \(|f(x) - l| < \varepsilon\) para \(0 < |x - x_0| < \delta\). Entonces \(f(x) > l - \varepsilon = l - (l-b) = b\).
Sea \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l\).
- Si \(b < l\), entonces \(\exists \delta > 0\) tal que \(0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > b\).
- Si \(b > l\), entonces \(\exists \delta > 0\) tal que \(0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < b\).
Sea \(f\) definida en \((a,b)\), salvo quizás en \(x_0\). Son equivalentes:
- \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l\).
- Para toda sucesión \((x_n)\) con \(x_n \to x_0\) y \(x_n \ne x_0\), se tiene \(f(x_n) \to l\).
Útil para demostrar que un límite no existe, exhibiendo dos sucesiones \((x_n), (y_n) \to x_0\) tales que \(f(x_n)\) y \(f(y_n)\) convergen a valores distintos.
Sean \(f, g\) funciones tales que \(\lim_{x \to a} f(x) = l_1\) y \(\lim_{x \to a} g(x) = l_2\). Entonces:
- \(\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = l_1 + l_2\)
- \(\lim_{x \to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2\)
- Si \(l_2 \ne 0\), entonces \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l_1}{l_2}\)
- \(\lim_{x \to a} (f(x))^n = l_1^n\), para \(n \in \mathbb{N}\)
Sean \(g:(a,b)\to\mathbb{R}\) y \(f:(c,d)\to\mathbb{R}\). Supongamos \(\lim_{x \to x_0} g(x) = y_0\), \(g(x) \ne y_0\) para \(x \ne x_0\), y \(\lim_{y \to y_0} f(y) = l\). Entonces: \[\lim_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = l\] Permite calcular límites complicados mediante cambio de variable.
Límites laterales
\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < x - x_0 < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon\]
\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < x_0 - x < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon\]
\(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l\) si y sólo si \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = l\).
Límites infinitos y al infinito
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > M\]
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \iff \forall M > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < -M\]
Estas definiciones se extienden a límites laterales:
\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < x - x_0 < \delta \Rightarrow f(x) > M\]
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = l \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists K > 0 : x > K \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon\]
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists K > 0 : x > K \Rightarrow f(x) > M\]
Continuidad
Sea \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\) y \(x_0\in(a,b)\), se dice que \(f\) es continua en \(x_0\) si \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
Sea \(f\) una función con una discontinuidad en \(x_0\):
- Evitable: \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) existe pero \(f(x_0)\) no está definida o es distinta del límite. Se puede “reparar” redefiniendo \(f(x_0)\).
- Primera especie (salto): los dos límites laterales existen pero son distintos.
- Segunda especie: al menos uno de los límites laterales no existe (e.g., \(\sin(1/x)\) en \(x=0\)).
Sea \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\) continua en \(x_0 \in (a,b)\) y sean \(\alpha < f(x_0) < \beta\). Entonces existe \(\delta > 0\) tal que: \[|x - x_0| < \delta \Rightarrow \alpha < f(x) < \beta\]
Si \(g\) es continua en \(x_0\) y \(f\) es continua en \(g(x_0)\), entonces \(f \circ g\) es continua en \(x_0\).
Sean \(f\) y \(g\) continuas en \(x_0\). Entonces son continuas en \(x_0\):
- \(f + g\)
- \(f \cdot g\)
- \(f/g\), siempre que \(g(x_0) \ne 0\)
Además, los polinomios \(P(x)\), las funciones \(a^x\), \(\log x\) (para \(x>0\)), \(\sin x\), \(\cos x\) son continuas en todo su dominio.
Sea \(x_0 \in \mathbb{R}\). Queremos mostrar \(\lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}\).
\[|a^x - a^{x_0}| = a^{x_0} |a^{x-x_0} - 1|\]
Sea \(h = x - x_0\). Basta mostrar que \(\lim_{h \to 0} a^h = 1\).
Caso \(a > 1\): Para \(h > 0\) pequeño, \(a^h = e^{h \log a}\). Como \(\log a > 0\), dado \(\varepsilon > 0\) se elige \(\delta = \frac{\log(1+\varepsilon)}{\log a}\). Para \(|h| < \delta\): \(|a^h - 1| < \varepsilon\).
Caso \(0 < a < 1\): Análogo con \(\log a < 0\).
Por tanto \(a^x\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).
Como \(0 < a < 1\), tenemos \(\log a < 0\). Sea \(\varepsilon > 0\). Tomamos \(S = \frac{\log \varepsilon}{\log a} > 0\) (nótese que \(\log a < 0\), así que \(S > 0\) si \(\varepsilon < 1\)). Para \(x > S\): \[x \log a < S \log a = \log \varepsilon \quad \Rightarrow \quad a^x = e^{x \log a} < e^{\log \varepsilon} = \varepsilon\] Por lo tanto \(\lim_{x \to +\infty} a^x = 0\).
Sea \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\) continua en \(x_0 \in (a,b)\) y \(f(x_0) \ne 0\). Entonces existe \(\delta > 0\) tal que: \[|x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) \ne 0\]
Sea \(f\) continua en \([a,b]\) con \(f(a) < 0\) y \(f(b) > 0\). Entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c) = 0\).
Demostración: \(c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) < 0\}\). Si \(f(c) < 0\) o \(f(c) > 0\), la continuidad lleva a contradicción con la definición de supremo.
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función continua. Si \(f(a) \neq f(b)\) y \(k\) es un número entre \(f(a)\) y \(f(b)\), entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c) = k\).
Sin pérdida de generalidad, supongamos que \(f(a) < k < f(b)\). Definimos el conjunto:
\[A = \{x \in [a,b] : f(x) \leq k\}\]
\(A\) es no vacío pues \(a \in A\) ya que \(f(a) < k\).
\(A\) está acotado superiormente por \(b\) pues \(f(b) > k\).
Por el axioma de completitud, existe \(c = \sup A\).
Veamos que \(f(c) = k\):
Supongamos que \(f(c) < k\). Por la continuidad de \(f\) en \(c\), existe \(\delta > 0\) tal que: \[|x-c| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(c)| < k - f(c)\]
En particular, para \(x = c + \frac{\delta}{2}\): \[f(x) < f(c) + (k - f(c)) = k\]
Por lo tanto \(x \in A\), pero \(x > c\), contradiciendo que \(c\) es el supremo de \(A\).
De manera similar, si \(f(c) > k\), por continuidad existiría un punto antes de \(c\) donde \(f\) tomaría valores mayores que \(k\), contradiciendo la definición de \(A\).
Por lo tanto, necesariamente \(f(c) = k\).
Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) alcanza su máximo y su mínimo en ese intervalo.
Si \(f:[a,b]\to[f(a),f(b)]\) es continua, biyectiva y monótona, entonces \(f^{-1}:[f(a),f(b)]\to[a,b]\) es continua.
Sea \(f:A\to\mathbb{R}\), \(A\subset\mathbb{R}\). Se dice que \(f\) es uniformemente continua en \(A\) si: \[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : |x - x'| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x')| < \varepsilon\]
A diferencia de la continuidad ordinaria, aquí \(\delta\) depende sólo de \(\varepsilon\), no del punto \(x\).
Si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces \(f\) es uniformemente continua en \([a,b]\).
Sea \(x_0 \neq 0\). Queremos encontrar \(\delta\) tal que \(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |1/x - 1/x_0| < \varepsilon\).
\[\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| = \frac{|x - x_0|}{|x| \cdot |x_0|}\]
Restringimos \(|x - x_0| < |x_0|/2\), lo que garantiza \(|x| > |x_0|/2\). Entonces: \[\frac{|x - x_0|}{|x| \cdot |x_0|} < \frac{|x - x_0|}{(|x_0|/2) \cdot |x_0|} = \frac{2|x - x_0|}{|x_0|^2}\]
Eligiendo \(\delta = \min\!\left(\frac{|x_0|}{2},\, \frac{\varepsilon |x_0|^2}{2}\right)\), para \(|x - x_0| < \delta\): \[\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| < \frac{2\delta}{|x_0|^2} \leq \frac{2 \cdot \frac{\varepsilon |x_0|^2}{2}}{|x_0|^2} = \varepsilon\]
Por tanto \(f(x) = 1/x\) es continua en todo \(x_0 \neq 0\).