Sucesiones
Sucesiones
Una sucesión \((a_n)\) es una función \(a:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}\).
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = l\) si \(\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(n \ge n_0 \Rightarrow |a_n - l| < \varepsilon\).
Sea \(a_n = \dfrac{n^2+2n+1}{n^2-3n-2}\). Queremos mostrar que \(|a_n - 1| < \varepsilon\) para \(n\) suficientemente grande.
\[|a_n - 1| = \left|\frac{n^2+2n+1 - (n^2-3n-2)}{n^2-3n-2}\right| = \left|\frac{5n+3}{n^2-3n-2}\right|\]
Para \(n\) grande, \(n^2 - 3n - 2 > n^2/2\) (pues \(3n + 2 < n^2/2\) para \(n \geq 7\)), por lo tanto: \[|a_n - 1| \leq \frac{5n+3}{n^2/2} = \frac{2(5n+3)}{n^2} \leq \frac{16}{n}\]
Dado \(\varepsilon > 0\), tomando \(N = \max\left(7, \lceil 16/\varepsilon \rceil\right)\), para \(n > N\) se tiene \(|a_n - 1| \leq 16/n < \varepsilon\).
Sea \((a_n)\) una sucesión y \(l \in \mathbb{R}\). Son equivalentes:
\(\lim_{n \to \infty} a_n = l\)
\(\lim_{n \to \infty} |a_n - l| = 0\)
\((a) \Rightarrow (b)\): Sea \(\varepsilon > 0\). Dado que \(\lim a_n = l\), existe \(N\) tal que para \(n > N\), \(|a_n - l| < \varepsilon\). Luego \(\bigl||a_n - l| - 0\bigr| = |a_n - l| < \varepsilon\), así que \(\lim |a_n - l| = 0\).
\((b) \Rightarrow (a)\): Sea \(\varepsilon > 0\). Existe \(N\) tal que para \(n > N\), \(\bigl||a_n - l| - 0\bigr| = |a_n - l| < \varepsilon\), por lo tanto \(\lim a_n = l\).
Sea \((a_n)\) una sucesión.
\[\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \Rightarrow a_n > M\]
\[\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \Rightarrow a_n < -M\]
Si una sucesión tiene límite, este es único.
Una sucesión \((a_n)\) es acotada si \(\exists M > 0\) tal que \(|a_n| < M\) para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Si una sucesión \((a_n)\) converge, entonces es acotada.
Sea \((a_n)\) una sucesión con \(\lim_{n\to\infty} a_n = l\).
- Si \(l > b\), entonces \(\exists n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(n \ge n_0 \Rightarrow a_n > b\).
- Si \(l < b\), entonces \(\exists n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(n \ge n_0 \Rightarrow a_n < b\).
- Si \(a_n \le b\) para todo \(n\), entonces \(l \le b\).
Si \((a_n)\), \((b_n)\), \((c_n)\) son sucesiones tales que \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = l\) y \(a_n \le b_n \le c_n\), entonces \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = l\).
Sean \((a_n)\), \((b_n)\) sucesiones convergentes con límites \(l_1, l_2\):
- \(\lim(a_n + b_n) = l_1 + l_2\)
- \(\lim(a_n b_n) = l_1 l_2\)
- \(\lim(k a_n) = k l_1\)
- \(\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{l_1}{l_2}\), si \(l_2 \neq 0\)
- \(\lim |a_n| = |l_1|\)
Sean \((a_n)\) sucesión acotada y \((b_n)\) con \(\lim_{n\to\infty} b_n = +\infty\). Entonces:
\(\lim_{n\to\infty}(a_n + b_n) = +\infty\)
\(\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = 0\)
(a) Como \(a_n\) es acotada, existe \(M > 0\) con \(|a_n| \leq M\) para todo \(n\). Sea \(R > 0\). Dado que \(b_n \to +\infty\), existe \(N\) con \(b_n > R + M\) para \(n > N\). Entonces: \[a_n + b_n > -M + (R + M) = R\] Por lo tanto \(\lim(a_n + b_n) = +\infty\).
(b) Sea \(\varepsilon > 0\). Como \(a_n\) es acotada, \(|a_n| \leq M\). Dado que \(b_n \to +\infty\), existe \(N\) con \(b_n > M/\varepsilon\) para \(n > N\). Entonces: \[\left|\frac{a_n}{b_n}\right| = \frac{|a_n|}{b_n} \leq \frac{M}{b_n} < \varepsilon\]
- \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = 1\) si \((a_n)\) es de términos positivos con \(\lim a_n = l > 0\).
- \(\lim_{n\to\infty} r^n = 0\) para todo \(|r| < 1\).
\[\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1\]
Más generalmente, para \(r > 0\) fijo: \[\lim_{n\to\infty} r^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } r > 1 \\ 1 & \text{si } r = 1 \\ 0 & \text{si } 0 \leq r < 1 \end{cases}\]
Escribamos \(n^{1/n} = 1 + h_n\) con \(h_n \geq 0\). Entonces \(n = (1+h_n)^n \geq \binom{n}{2} h_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} h_n^2\), así que \(h_n^2 \leq \frac{2}{n-1}\), es decir \(0 \leq h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}} \to 0\). Por el Teorema del Sandwich, \(h_n \to 0\) y por tanto \(n^{1/n} \to 1\).
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & \text{si } |r| < 1 \\ +\infty & \text{si } r > 1 \\ \text{no existe} & \text{si } r = -1 \end{cases}\)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{P(n)}{G(n)} = \begin{cases} \infty & \text{si } \deg P > \deg G \\ 0 & \text{si } \deg P < \deg G \\ c & \text{si } \deg P = \deg G \end{cases}\)
donde \(c\) es el cociente de los coeficientes principales.
Una sucesión es monótona si es creciente (\(a_n \le a_{n+1}\)) o decreciente (\(a_n \ge a_{n+1}\)).
Si una sucesión es monótona y acotada, entonces converge.
Consideremos el caso creciente y acotada superiormente. Sea \(s = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\), que existe por el Axioma del Supremo. Sea \(\varepsilon > 0\). Como \(s - \varepsilon\) no es cota superior, existe \(N\) tal que \(a_N > s - \varepsilon\). Para \(n > N\), como la sucesión es creciente: \[s - \varepsilon < a_N \leq a_n \leq s\] Luego \(|a_n - s| < \varepsilon\), es decir \(\lim_{n\to\infty} a_n = s\).
El caso decreciente y acotada inferiormente es análogo usando \(\inf\).
Si una sucesión \((a_n)\) es monótona y no acotada, entonces:
- Si es creciente: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty\).
- Si es decreciente: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty\).
Toda sucesión acotada en \(\mathbb{R}\) tiene una subsucesión convergente.
Sea \((a_n)\) acotada, con \(|a_n| \leq M\). Consideramos \(I_1 = [-M, M]\). Dividimos por la mitad: al menos uno de los dos subintervalos contiene infinitos términos de la sucesión; lo llamamos \(I_2\). Continuando, obtenemos intervalos encajados \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots\) con \(\ell(I_k) = M/2^{k-1} \to 0\). Por el Teorema de los Intervalos Encajados, existe un único \(x \in \bigcap_k I_k\). La subsucesión \(a_{n_k}\) de elementos tomados en \(I_k\) cumple \(|a_{n_k} - x| \leq \ell(I_k) \to 0\), por lo que \(a_{n_k} \to x\).
Sea \((a_n)\) una sucesión. Una subsucesión de \((a_n)\) es una sucesión de la forma \((a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}\), donde \((n_k)\) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales: \(n_1 < n_2 < n_3 < \cdots\)
Una sucesión \((a_n)\) converge a \(l\) si y sólo si toda subsucesión \((a_{n_k})\) converge a \(l\).
Este resultado permite demostrar divergencia encontrando dos subsucesiones con límites distintos.
Una sucesión \((a_n)\) es convergente si y solo si es de Cauchy, es decir: \[\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n,m \geq N, |a_n - a_m| < \varepsilon\]
- Toda sucesión de Cauchy es acotada.
- Una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy.
- Si \((a_n)\) es de Cauchy y existe una subsucesión \((a_{n_k})\) tal que \(\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a\), entonces \(\lim_{n\to\infty} a_n = a\).
Sea \((a_n)\) de Cauchy. Tomando \(\varepsilon = 1\), existe \(N\) tal que \(|a_n - a_m| < 1\) para \(n, m > N\). En particular, \(|a_n - a_{N+1}| < 1\) para \(n > N\), así que \(|a_n| < |a_{N+1}| + 1\). Tomando \(M = \max\{|a_1|, \ldots, |a_N|, |a_{N+1}| + 1\}\), se tiene \(|a_n| \leq M\) para todo \(n\).
Por la propiedad anterior, \((a_n)\) es acotada. Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión \(a_{n_k} \to a\). Sea \(\varepsilon > 0\). Existen \(N_1\) con \(|a_{n_k} - a| < \varepsilon/2\) para \(k > N_1\), y \(N_2\) con \(|a_n - a_m| < \varepsilon/2\) para \(n, m > N_2\). Sea \(N = \max\{N_1, N_2\}\). Para \(n > N\), elegimos \(k\) con \(n_k > N\): \[|a_n - a| \leq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]
Encajes de intervalos
Una sucesión de intervalos cerrados \(I_n = [a_n, b_n]\) con \(a_n \le b_n\) es un encaje de intervalos si \(I_{n+1} \subset I_n\) para todo \(n\).
La longitud del intervalo es \(\ell(I_n) = b_n - a_n\).
Sea \((I_n)\) un encaje de intervalos cerrados. Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \ell(I_n) = 0\), entonces: \[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \{x\}\] es decir, la intersección contiene exactamente un punto.
Este teorema es equivalente al axioma del supremo y es la base del Teorema de Bolzano–Weierstrass.
Sea \(a = \sup\{a_n\}\) y \(b = \inf\{b_n\}\). Para cada \(n\), \(a_n \leq b_n\), y como las sucesiones son monótonas, \(a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m\) para \(m \leq n\). Luego \(a_n \leq b\) para todo \(n\), así que \(a \leq b\), y \(x \in [a_n, b_n]\) para todo \(n\), es decir \(x \in \bigcap_n I_n\).
Si además \(\ell(I_n) \to 0\): dado \(\varepsilon > 0\), existe \(N\) con \(b_N - a_N < \varepsilon\). Para cualquier \(x, y \in \bigcap_n I_n\), \(|x - y| \leq b_N - a_N < \varepsilon\), así que la intersección es unitaria, \(\{x\} = \bigcap_n I_n\).
Un subconjunto de \(\mathbb{R}\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado.