Integrales de Darboux

Definición 1 — Partición de un intervalo

Sea $[a,b] \subset \mathbb{R}$ con $a < b$ . Una partición de $[a,b]$ es un conjunto $\Pi = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\} \subset [a,b]$ tal que $x_0 = a < x_1 < \cdots < x_n = b$ .

Se denota $I_k = [x_{k-1}, x_k]$ para $k = 1, \ldots, n$ .

Se dice que $\Pi'$ es más fina que $\Pi$ si $\Pi \subseteq \Pi'$ .

Definición 2 — Sumas de Darboux

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\Pi = \{x_0, \ldots, x_n\}$ una partición de $[a,b]$ . Se definen:

$m_k = \inf\{f(x) : x \in [x_{k-1}, x_k]\}, \qquad M_k = \sup\{f(x) : x \in [x_{k-1}, x_k]\}$

La suma inferior y la suma superior de Darboux son:

$s_\Pi(f) = \sum_{k=1}^{n} m_k\,(x_k - x_{k-1}), \qquad S_\Pi(f) = \sum_{k=1}^{n} M_k\,(x_k - x_{k-1})$

Se tiene $s_\Pi(f) \leq S_\Pi(f)$ .

Proposición 3 — Refinamiento y sumas de Darboux

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\Pi$ , $\Pi'$ particiones con $\Pi'$ más fina que $\Pi$ . Entonces:

$s_{\Pi'}(f) \geq s_\Pi(f) \qquad \text{y} \qquad S_{\Pi'}(f) \leq S_\Pi(f)$

Consecuencia: para cualesquiera particiones $\Pi$ , $\Pi'$ , se tiene $s_\Pi(f) \leq S_{\Pi'}(f)$ .

▶Demostración

Caso de un punto adicional. Suponga $\Pi' = \Pi \cup \{c\}$ con $c \in (x_{K-1}, x_K)$ . Sea $\tilde{M} = \sup f|_{[x_{K-1},c]}$ y $\tilde{\tilde{M}} = \sup f|_{[c,x_K]}$ . Como ambos son supremos de subconjuntos, $\tilde{M}, \tilde{\tilde{M}} \leq M_K$ . Luego:

$\tilde{M}(c-x_{K-1}) + \tilde{\tilde{M}}(x_K - c) \leq M_K(x_K - x_{K-1})$

de donde $S_{\Pi'}(f) \leq S_\Pi(f)$ . El caso de suma inferior es análogo.

Caso general. Si $\Pi'$ tiene $m$ puntos más que $\Pi$ , se aplica el argumento anterior $m$ veces.

Consecuencia. Sea $\tilde{\Pi} = \Pi \cup \Pi'$ . Entonces $s_\Pi \leq s_{\tilde{\Pi}} \leq S_{\tilde{\Pi}} \leq S_{\Pi'}$ .

QED

Definición 4 — Integral de Darboux e integrabilidad

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada con $a < b$ . Se definen:

$\underline{\int_a^b} f(x)\,dx = \sup_\Pi\, s_\Pi(f) \quad \text{(integral inferior)}, \qquad \overline{\int_a^b} f(x)\,dx = \inf_\Pi\, S_\Pi(f) \quad \text{(integral superior)}$

Se tiene $\displaystyle\underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f$ .

Se dice que $f$ es integrable en $[a,b]$ si $\displaystyle\underline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^b} f$ , y en ese caso se escribe $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ para el valor común.

Convenciones: $\displaystyle\int_c^c f = 0$ y $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ .

Proposición 5 — Criterio de integrabilidad de Darboux

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada. Son equivalentes:

$f$ es integrable en $[a,b]$ .
$\forall \varepsilon > 0$ , existe una partición $\Pi$ tal que $S_\Pi(f) - s_\Pi(f) < \varepsilon$ .

▶Demostración

(1) $\Rightarrow$ (2): Como $f$ es integrable, por definición de supremo e ínfimo existen $\Pi$ , $\Pi'$ tales que:

$s_\Pi(f) > \int_a^b f - \frac{\varepsilon}{2}, \qquad S_{\Pi'}(f) < \int_a^b f + \frac{\varepsilon}{2}$

Sea $\tilde{\Pi} = \Pi \cup \Pi'$ . Entonces $S_{\tilde{\Pi}} - s_{\tilde{\Pi}} \leq S_{\Pi'} - s_\Pi < \varepsilon$ .

(2) $\Rightarrow$ (1): Dado $\varepsilon > 0$ , tome $\Pi$ con $S_\Pi - s_\Pi < \varepsilon$ . Entonces:

$0 \leq \overline{\int_a^b} f - \underline{\int_a^b} f \leq S_\Pi(f) - s_\Pi(f) < \varepsilon$

Como $\varepsilon$ es arbitrario, $\overline{\int} f = \underline{\int} f$ .

QED

Proposición 6 — Aditividad de la integral

Sean $a < c < b$ y $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada. Entonces $f$ es integrable en $[a,b]$ si y solo si es integrable en $[a,c]$ y en $[c,b]$ , y en ese caso:

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

Ejemplo 1 — La función constante es integrable

Sea $f(x) = c$ constante en $[a,b]$ . Entonces $f$ es integrable y $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = c(b-a)$ .

▶Demostración

Para cualquier partición $\Pi$ , $m_k = M_k = c$ , luego $s_\Pi(f) = S_\Pi(f) = c(b-a)$ .

QED

Ejemplo 2 — La función de Dirichlet no es integrable

La función

$f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$

no es integrable en ningún $[a,b]$ con $a < b$ .

▶Demostración

En todo subintervalo hay racionales e irracionales (densidad). Luego $m_k = 0$ y $M_k = 1$ para toda partición, de donde $\underline{\int} f = 0 \neq b-a = \overline{\int} f$ .

QED

Teorema 3 — Función continua es integrable

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua. Entonces $f$ es integrable en $[a,b]$ .

▶Demostración

Como $f$ es continua en $[a,b]$ , por el Teorema de Heine-Cantor es uniformemente continua: $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ tal que $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \dfrac{\varepsilon}{b-a}$ .

Tome la partición regular $\Pi_n$ con $n > (b-a)/\delta$ puntos. En cada $I_k$ , los extremos $m_k = f(c_k)$ y $M_k = f(d_k)$ satisfacen $|c_k - d_k| \leq (b-a)/n < \delta$ , luego $M_k - m_k < \varepsilon/(b-a)$ .

$S_{\Pi_n}(f) - s_{\Pi_n}(f) = \sum_{k=1}^n (M_k - m_k)\frac{b-a}{n} < \frac{\varepsilon}{b-a}\cdot(b-a) = \varepsilon$

QED

Teorema 4 — Función acotada con finitas discontinuidades es integrable

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y continua salvo en un número finito de puntos. Entonces $f$ es integrable en $[a,b]$ .

▶Demostración

Una discontinuidad en $c \in (a,b)$ . Sea $M > 0$ tal que $|f(x)| \leq M$ . Dado $\varepsilon > 0$ , elige $\delta < \varepsilon/(4M)$ con $c \pm \delta \in (a,b)$ .

Como $f$ es continua en $[a,c-\delta]$ y $[c+\delta,b]$ , existen particiones $\Pi_1$ , $\Pi_2$ con $S_{\Pi_j} - s_{\Pi_j} < \varepsilon/3$ .

La partición $\Pi = \Pi_1 \cup \{c-\delta, c+\delta\} \cup \Pi_2$ satisface:

$S_\Pi - s_\Pi < \frac{\varepsilon}{3} + 2M \cdot 2\delta + \frac{\varepsilon}{3} < \frac{2\varepsilon}{3} + 4M\cdot\frac{\varepsilon}{4M} = \varepsilon$

Caso general: inducción en el número de discontinuidades.

QED

Definición 7 — Función integral

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ integrable. La función integral de $f$ es:

$F:[a,b] \to \mathbb{R}, \qquad F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$

Teorema 5 — Teorema Fundamental del Cálculo

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$ . Sea $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ la función integral.

$F$ es uniformemente continua en $[a,b]$ .
Si $f$ es continua en $x_0 \in [a,b]$ , entonces $F$ es derivable en $x_0$ y $F'(x_0) = f(x_0)$ .
Si $G$ es una primitiva de $f$ en $[a,b]$ , entonces: $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$

▶Demostración

Parte 1: continuidad uniforme de $F$ .

Dado $\varepsilon > 0$ , tome $\delta = \varepsilon/M$ : si $|x-y| < \delta$ entonces $|F(x)-F(y)| < \varepsilon$ .

Parte 2: $F'(x_0) = f(x_0)$ cuando $f$ es continua en $x_0$ .

Para $h > 0$ con $|h| < \delta$ (donde $\delta$ viene de la continuidad de $f$ en $x_0$ ): $\left|\frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)\right| = \frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}(f(t) - f(x_0))\,dt\right| < \varepsilon$

Parte 3: Si $G$ es primitiva de $f$ , entonces $G' = F'$ , luego $G - F$ es constante. Evaluando en $x = a$ : $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t)\,dt$ .

QED

Teorema 6 — Método de sustitución

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ con primitiva $F$ , y $g:[\alpha,\beta] \to [a,b]$ derivable. Entonces:

$\int_{\alpha}^{\beta} (f \circ g)(x)\,g'(x)\,dx = F(g(\beta)) - F(g(\alpha))$

▶Demostración

Por la regla de la cadena: $(F \circ g)'(x) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))\cdot g'(x)$ .

Luego $F \circ g$ es primitiva de $(f\circ g)\cdot g'$ , y por el TFC:

$\int_\alpha^\beta (f\circ g)(x)\,g'(x)\,dx = (F\circ g)(\beta) - (F\circ g)(\alpha)$

QED

Teorema 7 — Integración por partes

Sean $u, v:[a,b] \to \mathbb{R}$ derivables con $u'v$ y $uv'$ integrables. Entonces:

$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$

▶Demostración

Por la regla del producto: $(u\,v)' = u'v + uv'$ .

Integrando en $[a,b]$ y usando el TFC:

$u(x)v(x)\Big|_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$

Despejando:

$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$

QED

Integrales de Darboux

Particiones y sumas de Darboux

Integral de Darboux e integrabilidad

Ejemplos de integrabilidad

Funciones integrables

Teorema Fundamental del Cálculo

Métodos de integración