Ejercicios

Seleccion de ejercicios de los trabajos practicos de Fundamentos de Analisis.

Numeros Reales

1. Demostrar la unicidad de $0$ y $1$ como elementos neutros para la suma y multiplicacion de numeros reales, respectivamente.

2. Considerando la definicion axiomatica de $\mathbb{R}$, que ocurre si no se pide que $1 \neq 0$? Es decir, que ocurriria si fuese $1 = 0$?

3. Utilizando la definicion axiomatica de $\mathbb{R}$, demostrar las siguientes afirmaciones donde $a, b, c, d \in \mathbb{R}$:

   • (a) Si $a + c = b + c$ entonces $a = b$ (ley cancelativa de la suma).
   • (c) $a \cdot 0 = 0$.
   • (d) $-(-a) = a$.
   • (k) Si $a \neq 0$ entonces $a^2 > 0$.
   • (m) Si $a \cdot b = 0$ entonces $a = 0$ o $b = 0$.
   • (u) $a^2 + b^2 = 0$ si y solo si $a = b = 0$.

4. Demostrar que no existe ningun numero racional $r$ tal que $r^2 = 5$.

5. Sea $A \subset \mathbb{R}$ no vacio y acotado inferiormente. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

   • (a) $m = \inf A$.
   • (b) $m$ es cota inferior de $A$ y para todo $\epsilon > 0$ existe $a \in A$ tal que $a < m + \epsilon$.

6. Sea $a, b \in \mathbb{R}$. Demostrar que $|a - b| = |b - a|$, $|a|^2 = |a^2| = a^2$ y, si $a \neq 0$, entonces $|a^{-1}| = |a|^{-1}$.

7. Sean $a, b \in \mathbb{R}$. Demostrar que $|a - b| \geq |a| - |b|$ (sugerencia: escribir $a = (a - b) + b$ y utilizar la desigualdad triangular). Luego, demostrar que $-|a - b| \leq |a| - |b|$ (sugerencia: intercambiar $a$ y $b$ en el resultado anterior). Concluir que $||a| - |b|| \leq |a - b|$.

8. Demostrar que si $a \in \mathbb{R}$ cumple que para todo $\epsilon > 0$, $|a| < \epsilon$, entonces $a = 0$.

Sucesiones

1. Sea $(a_n)$ una sucesion de numeros reales convergente. Demostrar que el limite $l \in \mathbb{R}$ es unico.

2. Demostrar usando la definicion de limite de sucesiones que:

   • (a) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
   • (b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$.
   • (d) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - 3n - 2} = 1$.
   • (e) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0$.

3. Sea $(a_n)$ una sucesion de numeros reales convergente. Demostrar que el conjunto de los valores de la sucesion $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ es acotado.

4. Sea $(a_n)$ una sucesion de numeros reales y sea $l \in \mathbb{R}$. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

   • (a) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = l$.
   • (b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} |a_n - l| = 0$.

5. Sea $(a_n)$ una sucesion convergente con limite $l \in \mathbb{R}$. Sea $a_n > b$ para todo $n$ mayor que un cierto $n_0 \in \mathbb{N}$. Entonces $l \geq b$.

6. Sean $f, g$ funciones polinomicas de grados $h, k$ respectivamente. Para cada $n \in \mathbb{N}$ estan definidos $f(n)$ y $g(n)$. Demostrar que:

   • (a) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 0$ si $h < k$.
   • (b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = \infty$ si $h > k$.
   • Cuanto vale $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}$ si $h = k$?

7. Sea $(a_n)$ una sucesion de terminos positivos tal que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. Demostrar que $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ tiene un maximo.

8. Demostrar que la siguiente sucesion es convergente: $a_1 = \sqrt{3}$, $a_{n+1} = \sqrt{3 + a_n}$.

9. Demostrar las siguientes propiedades de la funcion $\log : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$:

   • (a) Sean $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$, entonces $\log(x \cdot y) = \log x + \log y$.
   • (b) Si $x \in \mathbb{R}_{>0}$ e $y \in \mathbb{R}$, entonces $\log x^y = y \log x$.

10. Probar que una sucesion $(a_n)$ es de Cauchy si y solo si para todo $\epsilon > 0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para $n \geq n_0$, $|a_{n+p} - a_n| < \epsilon$ cualquiera sea $p \in \mathbb{N}$.

11. Probar que si $(a_n)$ es una sucesion de Cauchy entonces para todo $p \in \mathbb{N}$ es $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_{n+p} - a_n) = 0$.

12. Demostrar que la sucesion dada por $a_n = (-1)^n$ no es convergente.

Limites y Continuidad

1. Utilizando la definicion de limite demostrar las siguientes afirmaciones:

   • (a) $\displaystyle\lim_{x \to 3} (-2x + 4) = -2$.
   • (b) $\displaystyle\lim_{x \to 3} 2x^2 = 18$.
   • (c) $\displaystyle\lim_{x \to 4} \sqrt{x} = 2$.
   • (d) $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x+3} = \frac{3}{5}$.

2. Sea $l \in \mathbb{R}$ y sean $f, g : (a,b) \to \mathbb{R}$ tales que $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = l$ y existe $\delta_0 > 0$ tal que $f(x) = g(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$ tal que $0 < |x - x_0| < \delta_0$. Demostrar que $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l$.

3. Demostrar que si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ entonces para todo $c \in \mathbb{R}$, $\displaystyle\lim_{x \to x_0} cf(x) = c \cdot l$.

4. Sean $f, g : ((a,b) - \{x_0\}) \to \mathbb{R}$ para un $x_0 \in (a,b)$ tales que $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1$ y $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = l_2$. Demostrar que:

   • (a) $\displaystyle\lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = l_1 + l_2$.
   • (b) $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = l_1 \cdot l_2$.
   • (c) Si $l_2 \neq 0$ y $g(x) \neq 0$ para todo $x \in ((a,b) - \{x_0\})$ entonces $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = l_1/l_2$.

5. Demostrar que $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ implica $\displaystyle\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |l|$.

6. Probar usando la definicion que las siguientes funciones son continuas:

   • (a) $f(x) = |3x + 1|$.
   • (b) $f(x) = 1/x$ para $x > 0$.
   • (c) $f(x) = x^2$.

7. Sea la funcion $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$ y $f(x) = 0$ si $x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$. Demostrar que $f$ no es continua en ningun punto.

8. Demostrar que la ecuacion $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene una raiz real en el intervalo $(1, 2)$.

9. Demostrar que existe un numero real que es solucion de la ecuacion $\cos x - x = 0$.

10. Sean $x \in \mathbb{R}$ y $\epsilon > 0$. Llamamos bola abierta de centro $x$ y radio $\epsilon$ al subconjunto de $\mathbb{R}$: $B_\epsilon(x) = \{y \in \mathbb{R} : |y - x| < \epsilon\}.$ Demostrar que $B_\epsilon(x) = (x - \epsilon, x + \epsilon)$. Como se podria definir una bola abierta en un espacio metrico $(X, d)$ cualquiera?

11. Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ se dice abierto si y solo si para todo $a \in A$ existe una bola abierta $B_\epsilon(a) \subset A$. Demostrar que una bola abierta es un conjunto abierto (sugerencia: tomar un punto cualquiera $y \in B_\epsilon(x)$ y considerar la bola abierta de centro $y$ y radio $\epsilon - |x - y| > 0$). Luego, demostrar que un intervalo abierto $(a, b) \subset \mathbb{R}$ es un conjunto abierto.

Derivadas

1. Demostrar que una funcion constante es derivable con derivada nula en todo punto.

2. Sea $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ y sean $x_0 \in (a,b)$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \alpha$ $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \alpha$

3. Calcular por definicion las siguientes derivadas:

   • (a) Para $f(x) = 2x + 3$, $f'(1)$.
   • (b) Para $f(x) = 3x^2 - 1$, $f'(2)$.
   • (c) Para $f(x) = \sqrt{x}$, $f'(4)$.
   • (d) Para $f(x) = 1/x$, $f'(2)$.

4. Se definen las derivadas laterales de una funcion $f$ en $x_0$ como los limites laterales de $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ cuando $x \to x_0$. Analizar la existencia de las derivadas laterales y de la derivada cuando $x_0 = 0$ en los siguientes casos:

   • (a) La funcion $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ si $x \neq 0$ y $f(0) = 0$.
   • (b) La funcion $g(x) = [x]$ (la parte entera de $x$).

5. Demostrar por definicion que si $f$ es derivable en $x_0$ y $c \in \mathbb{R}$ entonces la funcion $x \mapsto cf(x)$ es derivable en $x_0$ y $(cf)'(x_0) = cf'(x_0)$.

6. Sean $f, g$ definidas en el intervalo abierto $(a,b)$ y sea $x_0 \in (a,b)$. Si $g$ es derivable en $x_0$ y existe $\delta > 0$ tal que si $|x - x_0| < \delta$ entonces $f(x) = g(x)$, entonces $f$ es derivable en $x_0$ y $f'(x_0) = g'(x_0)$.

7. Sea la funcion $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$ y $f(x) = 0$ si $x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$. Demostrar que:

   • (a) La funcion $f$ no es continua en ningun punto.
   • (b) La funcion $g(x) = x \cdot f(x)$ es continua en $x_0 = 0$ pero no es derivable alli.

8. Sea $f : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = \sqrt{x}$. Demostrar por definicion que $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Demostrar que no existe la derivada lateral por la derecha en $x_0 = 0$.

9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes funciones en $x_0$:

   • (a) Para $f(x) = 2x + 3$ en $x_0 = 1$.
   • (b) Para $f(x) = 3x^2 - 1$ en $x_0 = 2$.
   • (c) Para $f(x) = \sqrt{x}$ en $x_0 = 4$.
   • (d) Para $f(x) = 1/x$ en $x_0 = 2$.

10. Sea $n \in \mathbb{N}$. Demostrar que si $f(x) = x^n$ entonces $f'(x) = nx^{n-1}$ (sugerencia: utilizar la formula del binomio de Newton).

11. Sean $f, g$ derivables en $x_0$. Demostrar las siguientes reglas de derivacion:

    • (a) La funcion $f + g$ es derivable en $x_0$ y $(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$.
    • (b) La funcion $f \cdot g$ es derivable en $x_0$ y $(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$.
    • (c) Si $g(x) \neq 0$ para todo $x$ en un entorno de $x_0$ entonces $f/g$ es derivable en $x_0$ y $(f/g)'(x_0) = \frac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2}$.

12. Demostrar que una funcion polinomica $f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$ es derivable y $f'(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k k x^{k-1}$.

13. Demostrar que una funcion racional es derivable en todo punto de su dominio. Luego hallar la derivada de $f(x) = \frac{4x - 3}{2x + 4}$.

14. Demostrar que:

    • (a) Si $f$ es impar y derivable entonces su derivada es una funcion par.
    • (b) Si $f$ es par y derivable entonces su derivada es una funcion impar.

15. Se definen las funciones seno y coseno hiperbolicos como $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$. Demostrar que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

16. Probar que la funcion $f(x) = \sqrt[3]{(x-3)^2}$ satisface la igualdad $f(1) = f(5)$ pero no existe $c \in (1,5)$ tal que $f'(c) = 0$. Explicar por que no se cumple el teorema de Rolle.

17. Demostrar los siguientes resultados:

    • (a) Si $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ es derivable en todo punto y $f'(x) \geq 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es creciente.
    • (b) Si $f$ es creciente y derivable, entonces $f'(x) \geq 0$ para todo $x$ en el dominio de $f$.
    • (c) Si $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ es derivable en todo punto y $f'(x) \leq 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es decreciente.

18. Demostrar que si $f(x) = \ln|x|$ entonces $f'(x) = 1/x$ para todo $x \neq 0$.

Integrales

1. Sean $A, B \subset \mathbb{R}$ no vacios y tales que $a \leq b$ para todo $a \in A$ y para todo $b \in B$. Demostrar que $\sup A \leq \inf B$.

2. Sean $a, b \in \mathbb{R}$ tal que $a < b$. Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ una funcion acotada. Demostrar que los conjuntos $\{s_\pi(f) : \pi \text{ es particion de } [a,b]\}$ y $\{S_\pi(f) : \pi \text{ es particion de } [a,b]\}$ son no vacios.

3. Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ una funcion acotada. Supongamos que existe $(\pi_n)$ una sucesion de particiones de $[a,b]$ tal que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} s_{\pi_n}(f) = \lim_{n \to \infty} S_{\pi_n}(f)$. Demostrar que $f$ es integrable en $[a,b]$.

4. Demostrar las siguientes afirmaciones usando la definicion de integral:

   • (a) $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b^2 - a^2}{2}$ donde $f(x) = x$ (con $a < b$).
   • (b) $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = 1/3$ (sugerencia: proceder de forma similar al caso $\int_0^1 x\,dx$ y utilizar que $\sum_{j=1}^{n} j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$).

5. Sea $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ una funcion acotada y tal que $f(x) \geq 0$ para todo $x \in [a,b]$. Demostrar que $\displaystyle\int_a^{\tilde{b}} f(x)\,dx \geq 0$. Demostrar tambien que, si $f$ es integrable, entonces $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.

6. Sea $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = 1$ si $x \neq 1$ y $f(0) = 1$. Probar que $f$ es integrable en $[0,1]$ y $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 1$.

7. Sea $f$ integrable en $[a,b]$. Sean $c, d \in \mathbb{R}$ tales que $a \leq c < d \leq b$. Demostrar que $f$ es integrable en $[c,d]$.

8. Sean $f, g$ integrables en $[a,b]$ y tales que $f(x) \leq g(x)$ para todo $x \in [a,b]$. Entonces $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$.

9. Sea $f$ integrable en $[a,b]$. Demostrar que $\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$.