Herramientas del Análisis

Definición 1 — Exponencial (definición inductiva)

Para $a \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$ :

$a^0 = 1$
$a^{n+1} = a^n \cdot a$ , $n \ge 0$
$a^{-n} = 1 / a^n$

Definición 2 — Exponencial (extensión a racionales)

Para $a > 0$ y $m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$ : $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Teorema 1 — Propiedades del exponente racional

Para $a,b > 0$ y $r,s \in \mathbb{Q}$ :

$a^r a^s = a^{r+s}$
$(a^r)^s = a^{rs}$
$a^r / a^s = a^{r-s}$
$(ab)^r = a^r b^r$
$a^1 = a$ , $a^0 = 1$

Definición 3 — Exponencial (exponente real)

Para $a > 0$ y $r \in \mathbb{R}$ : $a^r = \sup\{a^q : q \in \mathbb{Q}, q < r\} = \inf\{a^q : q \in \mathbb{Q}, q > r\}$

Definición 4 — El número e

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ donde $2 < e < 3$

Proposición 5 —

(1+1/n)^n

es estrictamente creciente

La sucesión $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ es estrictamente creciente.

▶Demostración

Por la desigualdad de medias aritmética-geométrica aplicada a $n+1$ números donde $n$ de ellos son $\frac{n+1}{n}$ y uno es $1$ : $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot 1 \leq \left(\frac{n \cdot \frac{n+1}{n} + 1}{n+1}\right)^{n+1} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$ Multiplicando ambos lados por $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ , se obtiene $a_n < a_{n+1}$ .

Alternativamente, usando el Teorema del Binomio de Newton: $a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}$ Cada término $\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} = \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$ es creciente en $n$ , y $a_{n+1}$ tiene un término adicional positivo, por lo tanto $a_n < a_{n+1}$ .

QED

Definición 6 — Logaritmo natural

Para $y > 0$ : $\log(y) = \sup\{x \in \mathbb{R} : e^x < y\}$ Es la función inversa de $e^x$ .

Teorema 2 — Propiedades del logaritmo

Para $a,b > 0$ :

$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$
$\log(a^b) = b \log(a)$

▶Demostración — Demostración de

\log(xy) = \log x + \log y

Sean $r = \log x$ y $s = \log y$ , es decir $x = e^r$ y $y = e^s$ . Entonces: $xy = e^r \cdot e^s = e^{r+s}$ Aplicando $\log$ a ambos lados: $\log(xy) = r + s = \log x + \log y$ .

QED

Teorema 3 — Desigualdad de Bernoulli

Para $h > -1$ y $n \in \mathbb{N}$ : $(1 + h)^n \ge 1 + nh$

Teorema 4 — Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$ números reales: $(\sum a_i b_i)^2 \le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$

Teorema 5 — Desigualdad de la media aritmética y geométrica (AM-GM)

Para $a_1, a_2, \dots, a_n > 0$ : $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$ En particular, para dos números: $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Teorema 6 — Desigualdad AM-GM de cuadrados

Para $a, b \in \mathbb{R}$ : $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \sqrt{a^2 b^2} = |ab|$

Teorema 7 — Variación de la desigualdad triangular

Para $x, y \in \mathbb{R}$ : $|x| = |x - y + y| \le |x - y| + |y|$ Técnica estándar en demostraciones $\varepsilon$ - $\delta$ : acotar $|f(x) - L| \le |f(x) - g(x)| + |g(x) - L|$ .

Teorema 8 — Teorema de Taylor

Sea $f:I \to \mathbb{R}$ una función $n$ veces derivable en un intervalo $I$ y sea $a \in I$ . Entonces para todo $x \in I$ existe $c$ entre $a$ y $x$ tal que: $f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n$

Teorema 9 — Diferencia de cuadrados

Para $a, b \in \mathbb{R}$ : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Teorema 10 — Binomio de Newton

Para $a, b \in \mathbb{R}$ y $m \in \mathbb{N}$ : $(a + b)^m = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} a^{m-i} b^i$

Teorema 11 — Factorización de diferencia de potencias

Para $a, b \in \mathbb{R}$ y $k \in \mathbb{N}$ : $a^k - b^k = (a - b)\sum_{i=0}^{k-1} a^{k-1-i}\, b^i$

Teorema 12 — Serie geométrica finita

Para $a \ne 1$ y $n \in \mathbb{N}$ : $1 + a + a^2 + \cdots + a^n = \frac{a^{n+1} - 1}{a - 1}$

Teorema 13 — Serie aritmética

$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Teorema 14 — Tamaño del conjunto potencia

Para $n \in \mathbb{N}$ : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Teorema 15 — Desigualdad trigonométrica

Para $x \in (0, \pi/2)$ : $\sin x \le x \le \tan x$ Esta propiedad es clave para probar que $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

▶Demostración

Comparando áreas en el círculo unitario con ángulo $x$ :

Triángulo $OAP$ : vértices en $O=(0,0)$ , $A=(1,0)$ , $P=(\cos x, \sin x)$ . Área $= \tfrac{1}{2}\sin x$ .
Sector circular $OAP$ : Área $= \tfrac{x}{2}$ .
Triángulo $OAT$ : vértices en $O$ , $A=(1,0)$ , $T=(1, \tan x)$ . Área $= \tfrac{1}{2}\tan x$ .

Como triángulo $OAP \subset$ sector $\subset$ triángulo $OAT$ : $\frac{1}{2}\sin x \;\le\; \frac{x}{2} \;\le\; \frac{1}{2}\tan x$

Multiplicando por $2$ y dividiendo por $\sin x > 0$ : $1 \;\le\; \frac{x}{\sin x} \;\le\; \frac{1}{\cos x}$

Tomando recíprocos (la desigualdad se invierte): $\cos x \;\le\; \frac{\sin x}{x} \;\le\; 1$

Como $\cos x \to 1$ cuando $x \to 0$ , por el Teorema del Sandwich: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

QED

Teorema 16 — Identidades pitagóricas

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad \tan^2 x + 1 = \sec^2 x, \qquad 1 + \cot^2 x = \csc^2 x$

Teorema 17 — Fórmulas de ángulo doble

$\sin 2x = 2\sin x \cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

Teorema 18 — Fórmulas de suma de ángulos

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Teorema 19 — Identidades de reducción de potencias

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

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