Límites y Continuidad

Definición 1 — Límite de una función

Sea $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ , se dice que $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = l$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que $0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon$ .

Teorema 1 — Unicidad del límite funcional

Si una función tiene límite en un punto, este es único.

▶Demostración

Supongamos que $\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1$ y $\lim_{x \to x_0} f(x) = l_2$ con $l_1 \neq l_2$ . Sea $\varepsilon = \frac{|l_1 - l_2|}{2} > 0$ .

Existen $\delta_1, \delta_2 > 0$ tales que:

$0 < |x - x_0| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - l_1| < \varepsilon$
$0 < |x - x_0| < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - l_2| < \varepsilon$

Para $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ y cualquier $x$ con $0 < |x - x_0| < \delta$ : $|l_1 - l_2| \leq |l_1 - f(x)| + |f(x) - l_2| < \varepsilon + \varepsilon = |l_1 - l_2|$ Contradicción. Por tanto $l_1 = l_2$ .

QED

Teorema 2 — Teorema del Sandwich para funciones

Sean $f, g, h$ funciones definidas en $(a,b)$ , salvo quizás en $x_0 \in (a,b)$ . Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ y $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l$ , entonces $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ .

Definición 2

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

▶Demostración

Para $x \in (0, \pi/2)$ , la comparación de áreas geométricas en el círculo unitario da: $\sin x < x < \tan x$

Dividiendo por $\sin x > 0$ : $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \quad \Rightarrow \quad \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

Como $\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$ , por el Teorema del Sandwich: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$

Para $x \in (-\pi/2, 0)$ , se usa que $\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin(-x)}{-x}$ (función par), obteniendo el mismo límite lateral. Por tanto $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

QED

Lema 3 — Acotación local del límite

Sea $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ .

a) Si $b > l$ , entonces existe $\delta > 0$ tal que $f(x) < b$ para todo $x$ con $0 < |x - x_0| < \delta$ .

b) Si $b < l$ , entonces existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > b$ para todo $x$ con $0 < |x - x_0| < \delta$ .

▶Demostración

(a) Sea $\varepsilon = b - l > 0$ . Existe $\delta > 0$ con $|f(x) - l| < \varepsilon$ para $0 < |x - x_0| < \delta$ . Entonces $f(x) < l + \varepsilon = l + (b-l) = b$ .

(b) Sea $\varepsilon = l - b > 0$ . Existe $\delta > 0$ con $|f(x) - l| < \varepsilon$ para $0 < |x - x_0| < \delta$ . Entonces $f(x) > l - \varepsilon = l - (l-b) = b$ .

QED

Teorema 4 — Lema de orden para límites funcionales

Sea $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ .

Si $b < l$ , entonces $\exists \delta > 0$ tal que $0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > b$ .
Si $b > l$ , entonces $\exists \delta > 0$ tal que $0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < b$ .

Teorema 5 — Caracterización del límite funcional por sucesiones

Sea $f$ definida en $(a,b)$ , salvo quizás en $x_0$ . Son equivalentes:

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ .
Para toda sucesión $(x_n)$ con $x_n \to x_0$ y $x_n \ne x_0$ , se tiene $f(x_n) \to l$ .

Útil para demostrar que un límite no existe, exhibiendo dos sucesiones $(x_n), (y_n) \to x_0$ tales que $f(x_n)$ y $f(y_n)$ convergen a valores distintos.

Teorema 6 — Álgebra de límites funcionales

Sean $f, g$ funciones tales que $\lim_{x \to a} f(x) = l_1$ y $\lim_{x \to a} g(x) = l_2$ . Entonces:

$\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = l_1 + l_2$
$\lim_{x \to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2$
Si $l_2 \ne 0$ , entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l_1}{l_2}$
$\lim_{x \to a} (f(x))^n = l_1^n$ , para $n \in \mathbb{N}$

Teorema 7 — Composición de funciones para límites

Sean $g:(a,b)\to\mathbb{R}$ y $f:(c,d)\to\mathbb{R}$ . Supongamos $\lim_{x \to x_0} g(x) = y_0$ , $g(x) \ne y_0$ para $x \ne x_0$ , y $\lim_{y \to y_0} f(y) = l$ . Entonces: $\lim_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = l$ Permite calcular límites complicados mediante cambio de variable.

Definición 3 — Límite lateral por la derecha

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < x - x_0 < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon$

Definición 4 — Límite lateral por la izquierda

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < x_0 - x < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon$

Teorema 8 — Equivalencia con límites laterales

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ si y sólo si $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = l$ .

Definición 5 — Límite infinito de una función

$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > M$

$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \iff \forall M > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < -M$

Estas definiciones se extienden a límites laterales:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < x - x_0 < \delta \Rightarrow f(x) > M$

Definición 6 — Límite al infinito

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = l \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists K > 0 : x > K \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists K > 0 : x > K \Rightarrow f(x) > M$

Definición 7 — Continuidad

Sea $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ y $x_0\in(a,b)$ , se dice que $f$ es continua en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .

Definición 8 — Clasificación de discontinuidades

Sea $f$ una función con una discontinuidad en $x_0$ :

Evitable: $\lim_{x\to x_0} f(x)$ existe pero $f(x_0)$ no está definida o es distinta del límite. Se puede "reparar" redefiniendo $f(x_0)$ .
Primera especie (salto): los dos límites laterales existen pero son distintos.
Segunda especie: al menos uno de los límites laterales no existe (e.g., $\sin(1/x)$ en $x=0$ ).

Teorema 9 — Acotación local de función continua

Sea $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ continua en $x_0 \in (a,b)$ y sean $\alpha < f(x_0) < \beta$ . Entonces existe $\delta > 0$ tal que: $|x - x_0| < \delta \Rightarrow \alpha < f(x) < \beta$

Teorema 10 — Composición de funciones continuas

Si $g$ es continua en $x_0$ y $f$ es continua en $g(x_0)$ , entonces $f \circ g$ es continua en $x_0$ .

Teorema 11 — Álgebra de funciones continuas

Sean $f$ y $g$ continuas en $x_0$ . Entonces son continuas en $x_0$ :

$f + g$
$f \cdot g$
$f/g$ , siempre que $g(x_0) \ne 0$

Además, los polinomios $P(x)$ , las funciones $a^x$ , $\log x$ (para $x>0$ ), $\sin x$ , $\cos x$ son continuas en todo su dominio.

Ejemplo 12 —

a^x

es continua en

\mathbb{R}

para

a > 0

Sea $x_0 \in \mathbb{R}$ . Queremos mostrar $\lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}$ .

$|a^x - a^{x_0}| = a^{x_0} |a^{x-x_0} - 1|$

Sea $h = x - x_0$ . Basta mostrar que $\lim_{h \to 0} a^h = 1$ .

Caso $a > 1$ : Para $h > 0$ pequeño, $a^h = e^{h \log a}$ . Como $\log a > 0$ , dado $\varepsilon > 0$ se elige $\delta = \frac{\log(1+\varepsilon)}{\log a}$ . Para $|h| < \delta$ : $|a^h - 1| < \varepsilon$ .
Caso $0 < a < 1$ : Análogo con $\log a < 0$ .

Por tanto $a^x$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .

Ejemplo 13 —

\lim_{x \to +\infty} a^x = 0

para

0 < a < 1

Como $0 < a < 1$ , tenemos $\log a < 0$ . Sea $\varepsilon > 0$ . Tomamos $S = \frac{\log \varepsilon}{\log a} > 0$ (nótese que $\log a < 0$ , así que $S > 0$ si $\varepsilon < 1$ ). Para $x > S$ : $x \log a < S \log a = \log \varepsilon \quad \Rightarrow \quad a^x = e^{x \log a} < e^{\log \varepsilon} = \varepsilon$ Por lo tanto $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$ .

Teorema 14 — Ley de conservación de signo

Sea $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ continua en $x_0 \in (a,b)$ y $f(x_0) \ne 0$ . Entonces existe $\delta > 0$ tal que: $|x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) \ne 0$

Teorema 15 — Teorema de Bolzano

Sea $f$ continua en $[a,b]$ con $f(a) < 0$ y $f(b) > 0$ . Entonces existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = 0$ .

Demostración: $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) < 0\}$ . Si $f(c) < 0$ o $f(c) > 0$ , la continuidad lleva a contradicción con la definición de supremo.

Teorema 16 — Teorema del Valor Intermedio

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función continua. Si $f(a) \neq f(b)$ y $k$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$ , entonces existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = k$ .

▶Demostración

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $f(a) < k < f(b)$ . Definimos el conjunto:

$A = \{x \in [a,b] : f(x) \leq k\}$

$A$ es no vacío pues $a \in A$ ya que $f(a) < k$ .
$A$ está acotado superiormente por $b$ pues $f(b) > k$ .
Por el axioma de completitud, existe $c = \sup A$ .
Veamos que $f(c) = k$ :

Supongamos que $f(c) < k$ . Por la continuidad de $f$ en $c$ , existe $\delta > 0$ tal que: $|x-c| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(c)| < k - f(c)$

En particular, para $x = c + \frac{\delta}{2}$ : $f(x) < f(c) + (k - f(c)) = k$

Por lo tanto $x \in A$ , pero $x > c$ , contradiciendo que $c$ es el supremo de $A$ .

De manera similar, si $f(c) > k$ , por continuidad existiría un punto antes de $c$ donde $f$ tomaría valores mayores que $k$ , contradiciendo la definición de $A$ .

Por lo tanto, necesariamente $f(c) = k$ .

QED

Teorema 17 — Teorema de Weierstrass

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$ alcanza su máximo y su mínimo en ese intervalo.

Teorema 18 — Continuidad de la función inversa

Si $f:[a,b]\to[f(a),f(b)]$ es continua, biyectiva y monótona, entonces $f^{-1}:[f(a),f(b)]\to[a,b]$ es continua.

Definición 9 — Continuidad uniforme

Sea $f:A\to\mathbb{R}$ , $A\subset\mathbb{R}$ . Se dice que $f$ es uniformemente continua en $A$ si: $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : |x - x'| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x')| < \varepsilon$

A diferencia de la continuidad ordinaria, aquí $\delta$ depende sólo de $\varepsilon$ , no del punto $x$ .

Teorema 19 — Teorema de Heine-Cantor

Si $f$ es continua en $[a,b]$ , entonces $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ .

Ejemplo 20 — Continuidad de

f(x) = 1/x

en

x_0 \neq 0

Sea $x_0 \neq 0$ . Queremos encontrar $\delta$ tal que $|x - x_0| < \delta \Rightarrow |1/x - 1/x_0| < \varepsilon$ .

$\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| = \frac{|x - x_0|}{|x| \cdot |x_0|}$

Restringimos $|x - x_0| < |x_0|/2$ , lo que garantiza $|x| > |x_0|/2$ . Entonces: $\frac{|x - x_0|}{|x| \cdot |x_0|} < \frac{|x - x_0|}{(|x_0|/2) \cdot |x_0|} = \frac{2|x - x_0|}{|x_0|^2}$

Eligiendo $\delta = \min\!\left(\frac{|x_0|}{2},\, \frac{\varepsilon |x_0|^2}{2}\right)$ , para $|x - x_0| < \delta$ : $\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| < \frac{2\delta}{|x_0|^2} \leq \frac{2 \cdot \frac{\varepsilon |x_0|^2}{2}}{|x_0|^2} = \varepsilon$

Por tanto $f(x) = 1/x$ es continua en todo $x_0 \neq 0$ .

Límites y Continuidad

Límites de funciones reales

Límites laterales

Límites infinitos y al infinito

Continuidad

Teoremas fundamentales de continuidad

Continuidad uniforme