Sucesiones

Definición 1 — Sucesión

Una sucesión $(a_n)$ es una función $a:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ .

Definición 2 — Límite de sucesión

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = l$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge n_0 \Rightarrow |a_n - l| < \varepsilon$ .

Ejemplo 1 —

\lim_{n\to\infty} \dfrac{n^2+2n+1}{n^2-3n-2} = 1

Sea $a_n = \dfrac{n^2+2n+1}{n^2-3n-2}$ . Queremos mostrar que $|a_n - 1| < \varepsilon$ para $n$ suficientemente grande.

$|a_n - 1| = \left|\frac{n^2+2n+1 - (n^2-3n-2)}{n^2-3n-2}\right| = \left|\frac{5n+3}{n^2-3n-2}\right|$

Para $n$ grande, $n^2 - 3n - 2 > n^2/2$ (pues $3n + 2 < n^2/2$ para $n \geq 7$ ), por lo tanto: $|a_n - 1| \leq \frac{5n+3}{n^2/2} = \frac{2(5n+3)}{n^2} \leq \frac{16}{n}$

Dado $\varepsilon > 0$ , tomando $N = \max\left(7, \lceil 16/\varepsilon \rceil\right)$ , para $n > N$ se tiene $|a_n - 1| \leq 16/n < \varepsilon$ .

Proposición 3 — Equivalencia de la definición de límite

Sea $(a_n)$ una sucesión y $l \in \mathbb{R}$ . Son equivalentes:

a) $\lim_{n \to \infty} a_n = l$

b) $\lim_{n \to \infty} |a_n - l| = 0$

▶Demostración

$(a) \Rightarrow (b)$ : Sea $\varepsilon > 0$ . Dado que $\lim a_n = l$ , existe $N$ tal que para $n > N$ , $|a_n - l| < \varepsilon$ . Luego $\bigl||a_n - l| - 0\bigr| = |a_n - l| < \varepsilon$ , así que $\lim |a_n - l| = 0$ .

$(b) \Rightarrow (a)$ : Sea $\varepsilon > 0$ . Existe $N$ tal que para $n > N$ , $\bigl||a_n - l| - 0\bigr| = |a_n - l| < \varepsilon$ , por lo tanto $\lim a_n = l$ .

QED

Definición 4 — Límites infinitos de sucesión

Sea $(a_n)$ una sucesión.

$\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \Rightarrow a_n > M$

$\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \Rightarrow a_n < -M$

Teorema 2 — Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite, este es único.

Definición 5 — Sucesión acotada

Una sucesión $(a_n)$ es acotada si $\exists M > 0$ tal que $|a_n| < M$ para todo $n \in \mathbb{N}$ .

Teorema 3 — Condición necesaria de convergencia

Si una sucesión $(a_n)$ converge, entonces es acotada.

Teorema 4 — Lemas de comparación para sucesiones

Sea $(a_n)$ una sucesión con $\lim_{n\to\infty} a_n = l$ .

Si $l > b$ , entonces $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge n_0 \Rightarrow a_n > b$ .
Si $l < b$ , entonces $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge n_0 \Rightarrow a_n < b$ .
Si $a_n \le b$ para todo $n$ , entonces $l \le b$ .

Teorema 5 — Teorema del Sandwich para sucesiones

Si $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ son sucesiones tales que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = l$ y $a_n \le b_n \le c_n$ , entonces $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = l$ .

Teorema 6 — Álgebra de límites de sucesiones

Sean $(a_n)$ , $(b_n)$ sucesiones convergentes con límites $l_1, l_2$ :

$\lim(a_n + b_n) = l_1 + l_2$
$\lim(a_n b_n) = l_1 l_2$
$\lim(k a_n) = k l_1$
$\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{l_1}{l_2}$ , si $l_2 \neq 0$
$\lim |a_n| = |l_1|$

Proposición 6 — Aritmética con límites infinitos

Sean $(a_n)$ sucesión acotada y $(b_n)$ con $\lim_{n\to\infty} b_n = +\infty$ . Entonces:

a) $\lim_{n\to\infty}(a_n + b_n) = +\infty$

b) $\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = 0$

▶Demostración

(a) Como $a_n$ es acotada, existe $M > 0$ con $|a_n| \leq M$ para todo $n$ . Sea $R > 0$ . Dado que $b_n \to +\infty$ , existe $N$ con $b_n > R + M$ para $n > N$ . Entonces: $a_n + b_n > -M + (R + M) = R$ Por lo tanto $\lim(a_n + b_n) = +\infty$ .

(b) Sea $\varepsilon > 0$ . Como $a_n$ es acotada, $|a_n| \leq M$ . Dado que $b_n \to +\infty$ , existe $N$ con $b_n > M/\varepsilon$ para $n > N$ . Entonces: $\left|\frac{a_n}{b_n}\right| = \frac{|a_n|}{b_n} \leq \frac{M}{b_n} < \varepsilon$

QED

Teorema 7 — Límites especiales de sucesiones

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = 1$ si $(a_n)$ es de términos positivos con $\lim a_n = l > 0$ .
$\lim_{n\to\infty} r^n = 0$ para todo $|r| < 1$ .

Lema 8 —

\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1

$\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$

Más generalmente, para $r > 0$ fijo: $\lim_{n\to\infty} r^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } r > 1 \\ 1 & \text{si } r = 1 \\ 0 & \text{si } 0 \leq r < 1 \end{cases}$

▶Demostración

Escribamos $n^{1/n} = 1 + h_n$ con $h_n \geq 0$ . Entonces $n = (1+h_n)^n \geq \binom{n}{2} h_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} h_n^2$ , así que $h_n^2 \leq \frac{2}{n-1}$ , es decir $0 \leq h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}} \to 0$ . Por el Teorema del Sandwich, $h_n \to 0$ y por tanto $n^{1/n} \to 1$ .

QED

Teorema 9 — Límites con potencias y polinomios

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & \text{si } |r| < 1 \\ +\infty & \text{si } r > 1 \\ \text{no existe} & \text{si } r = -1 \end{cases}$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{P(n)}{G(n)} = \begin{cases} \infty & \text{si } \deg P > \deg G \\ 0 & \text{si } \deg P < \deg G \\ c & \text{si } \deg P = \deg G \end{cases}$

donde $c$ es el cociente de los coeficientes principales.

Definición 7 — Sucesión monótona

Una sucesión es monótona si es creciente ( $a_n \le a_{n+1}$ ) o decreciente ( $a_n \ge a_{n+1}$ ).

Teorema 10 — Convergencia de sucesiones monótonas

Si una sucesión es monótona y acotada, entonces converge.

▶Demostración

Consideremos el caso creciente y acotada superiormente. Sea $s = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ , que existe por el Axioma del Supremo. Sea $\varepsilon > 0$ . Como $s - \varepsilon$ no es cota superior, existe $N$ tal que $a_N > s - \varepsilon$ . Para $n > N$ , como la sucesión es creciente: $s - \varepsilon < a_N \leq a_n \leq s$ Luego $|a_n - s| < \varepsilon$ , es decir $\lim_{n\to\infty} a_n = s$ .

El caso decreciente y acotada inferiormente es análogo usando $\inf$ .

QED

Teorema 11 — Comportamiento de sucesiones monótonas no acotadas

Si una sucesión $(a_n)$ es monótona y no acotada, entonces:

Si es creciente: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$ .
Si es decreciente: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ .

Teorema 12 — Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sucesión acotada en $\mathbb{R}$ tiene una subsucesión convergente.

▶Demostración

Sea $(a_n)$ acotada, con $|a_n| \leq M$ . Consideramos $I_1 = [-M, M]$ . Dividimos por la mitad: al menos uno de los dos subintervalos contiene infinitos términos de la sucesión; lo llamamos $I_2$ . Continuando, obtenemos intervalos encajados $I_1 \supset I_2 \supset \cdots$ con $\ell(I_k) = M/2^{k-1} \to 0$ . Por el Teorema de los Intervalos Encajados, existe un único $x \in \bigcap_k I_k$ . La subsucesión $a_{n_k}$ de elementos tomados en $I_k$ cumple $|a_{n_k} - x| \leq \ell(I_k) \to 0$ , por lo que $a_{n_k} \to x$ .

QED

Definición 8 — Subsucesión

Sea $(a_n)$ una sucesión. Una subsucesión de $(a_n)$ es una sucesión de la forma $(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ , donde $(n_k)$ es una sucesión estrictamente creciente de números naturales: $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$

Teorema 13 — Convergencia y subsucesiones

Una sucesión $(a_n)$ converge a $l$ si y sólo si toda subsucesión $(a_{n_k})$ converge a $l$ .

Este resultado permite demostrar divergencia encontrando dos subsucesiones con límites distintos.

Teorema 14 — Criterio de Cauchy

Una sucesión $(a_n)$ es convergente si y solo si es de Cauchy, es decir: $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n,m \geq N, |a_n - a_m| < \varepsilon$

Teorema 15 — Propiedades de las sucesiones de Cauchy

Toda sucesión de Cauchy es acotada.
Una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy.
Si $(a_n)$ es de Cauchy y existe una subsucesión $(a_{n_k})$ tal que $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a$ , entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ .

▶Demostración

Sea $(a_n)$ de Cauchy. Tomando $\varepsilon = 1$ , existe $N$ tal que $|a_n - a_m| < 1$ para $n, m > N$ . En particular, $|a_n - a_{N+1}| < 1$ para $n > N$ , así que $|a_n| < |a_{N+1}| + 1$ . Tomando $M = \max\{|a_1|, \ldots, |a_N|, |a_{N+1}| + 1\}$ , se tiene $|a_n| \leq M$ para todo $n$ .

QED

▶Demostración

Por la propiedad anterior, $(a_n)$ es acotada. Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión $a_{n_k} \to a$ . Sea $\varepsilon > 0$ . Existen $N_1$ con $|a_{n_k} - a| < \varepsilon/2$ para $k > N_1$ , y $N_2$ con $|a_n - a_m| < \varepsilon/2$ para $n, m > N_2$ . Sea $N = \max\{N_1, N_2\}$ . Para $n > N$ , elegimos $k$ con $n_k > N$ : $|a_n - a| \leq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

QED

Definición 9 — Encaje de intervalos

Una sucesión de intervalos cerrados $I_n = [a_n, b_n]$ con $a_n \le b_n$ es un encaje de intervalos si $I_{n+1} \subset I_n$ para todo $n$ .

La longitud del intervalo es $\ell(I_n) = b_n - a_n$ .

Teorema 16 — Encaje de intervalos

Sea $(I_n)$ un encaje de intervalos cerrados. Si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \ell(I_n) = 0$ , entonces: $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \{x\}$ es decir, la intersección contiene exactamente un punto.

▶Demostración

Sea $a = \sup\{a_n\}$ y $b = \inf\{b_n\}$ . Para cada $n$ , $a_n \leq b_n$ , y como las sucesiones son monótonas, $a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m$ para $m \leq n$ . Luego $a_n \leq b$ para todo $n$ , así que $a \leq b$ , y $x \in [a_n, b_n]$ para todo $n$ , es decir $x \in \bigcap_n I_n$ .

Si además $\ell(I_n) \to 0$ : dado $\varepsilon > 0$ , existe $N$ con $b_N - a_N < \varepsilon$ . Para cualquier $x, y \in \bigcap_n I_n$ , $|x - y| \leq b_N - a_N < \varepsilon$ , así que la intersección es unitaria, $\{x\} = \bigcap_n I_n$ .

QED

Teorema 17 — Teorema de Heine-Borel

Un subconjunto de $\mathbb{R}$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Definición y convergencia

Comparación y álgebra de límites

Límites especiales

Monotonía y convergencia

Subsucesiones y compacidad

Criterio de Cauchy

Encajes de intervalos