Construcción Axiomática

Este desarrollo de los números reales es axiomático, partimos de la base de que $\mathbb{R}$ es un conjunto no vacío que cumple ciertas propiedades. Estas propiedades, desde un punto de vista algebráico, le otorgan el carácter de cuerpo ordenado completo.

Axiomas de cuerpo

Axiomas de suma

Axioma 1 — Conmutatividad de la suma

Para todo $a,b \in \mathbb{R}$ : $a + b = b + a$

Axioma 2 — Asociatividad de la suma

Para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ : $(a + b) + c = a + (b + c)$

Axioma 3 — Elemento neutro de la suma

Existe $0 \in \mathbb{R}$ tal que para todo $a \in \mathbb{R}$ : $a + 0 = 0 + a = a$

Axioma 4 — Elemento opuesto de la suma

Para todo $a \in \mathbb{R}$ existe $(-a) \in \mathbb{R}$ tal que: $a + (-a) = 0$

Axiomas de producto

Axioma 5 — Conmutatividad del producto

Para todo $a,b \in \mathbb{R}$ : $a \cdot b = b \cdot a$

Axioma 6 — Asociatividad del producto

Para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ : $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Axioma 7 — Elemento neutro del producto

Existe $1 \in \mathbb{R}$ tal que para todo $a \in \mathbb{R}$ : $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

Axioma 8 — Elemento inverso del producto

Para todo $a \neq 0$ existe $a^{-1} \in \mathbb{R}$ tal que: $a \cdot a^{-1} = 1$

Axioma 9 — Distributividad

Para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ : $a(b + c) = ab + ac$

Axiomas de orden

Axioma 10 — Reflexividad del orden

Para todo $a \in \mathbb{R}$ : $a \leq a$

Axioma 11 — Antisimetría del orden

Para todo $a,b \in \mathbb{R}$ : $a \leq b \land b \leq a \Rightarrow a = b$

Axioma 12 — Transitividad del orden

Para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ : $a \leq b \land b \leq c \Rightarrow a \leq c$

Axioma 13 — Compatibilidad del orden con la suma

Para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ : $a \leq b \Rightarrow a + c \leq b + c$

Axioma 14 — Compatibilidad del orden con el producto

Para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ : $a \leq b \land c \geq 0 \Rightarrow ac \leq bc$

Axioma de completitud

Axioma 15 — Completitud

Todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene un supremo en $\mathbb{R}$ .

Definición 1 — Cota superior e inferior

Sea $A \subset \mathbb{R}$ .

$C$ es cota superior de $A$ si $\forall a \in A,\ a \le C$ .
$C$ es cota inferior de $A$ si $\forall a \in A,\ a \ge C$ .

Se dice que $A$ es acotado superiormente (resp. inferiormente) si existe al menos una cota superior (resp. inferior).

Definición 2 — Supremo e ínfimo

Sea $A \subset \mathbb{R}$ no vacío y acotado superiormente. Se dice que $c = \sup A$ si:

$c$ es cota superior de $A$ : $\forall a \in A,\ a \le c$ .
$c$ es la menor cota superior: $\forall k$ cota superior de $A,\ c \le k$ .

Equivalentemente, $c = \sup A$ si y sólo si:

$c$ es cota superior de $A$ .
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A$ tal que $a > c - \varepsilon$ .

El ínfimo $\inf A$ se define simétricamente como la mayor cota inferior.

Teorema 1 — Relación entre ínfimo y supremo

Sea $A \subset \mathbb{R}$ no vacío y acotado. Entonces:

$\inf A \le \sup A$ .
Si $\inf A = \sup A$ , entonces $A = \{a\}$ para algún $a \in \mathbb{R}$ .

Teorema 2 — Principio de Arquímedes

Para todo $a \in \mathbb{R}$ , existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $n > a$ .

Consecuencia: entre dos números reales siempre existe un racional y un irracional (densidad de $\mathbb{Q}$ e irracionales en $\mathbb{R}$ ).

Teorema 3 — Caracterización del supremo por sucesiones

Sea $A \subset \mathbb{R}$ no vacío y acotado superiormente. Entonces $s = \sup A$ si y sólo si:

$s$ es cota superior de $A$ .
Existe una sucesión $(a_n) \subset A$ tal que $a_n \to s$ .

Valor Absoluto

Teorema 4 — Definición de Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real $a$ se define como:

$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$

Teorema 5 — Caracterización del Valor Absoluto

Para $a \in \mathbb{R}$ y $b \ge 0$ , $|a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b$ .

Teorema 6 — Multiplicatividad del Valor Absoluto

Para todo $a,b \in \mathbb{R}$ , $|ab| = |a| \cdot |b|$ .

Teorema 7 — Cociente del Valor Absoluto

Para todo $a, b \in \mathbb{R}$ con $b \neq 0$ , $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ .

Teorema 8 — Cota Inferior del Valor Absoluto

Para todo $a \in \mathbb{R}$ , $a \le |a|$ .

Teorema 9 — Desigualdad del triángulo invertida

Para todo $a, b \in \mathbb{R}$ , $||a| - |b|| \le |a - b|$ .

Teorema 10 — Desigualdad triangular

Para todo $a, b \in \mathbb{R}$ , $|a + b| \le |a| + |b|$ .

Teorema 11 — Desigualdad triangular generalizada

Para $a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ : $\left|\sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|$

Teorema 12 — Definición equivalente del valor absoluto

Para todo $a \in \mathbb{R}$ : $\sqrt{a^2} = |a|$ .