Funciones

Definición 1 — Función de variable compleja

Sea $S \subset \mathbb{C}$ un conjunto no vacío. Una función de variable compleja es una función $f: S \to \mathbb{C}$ que asigna a cada $z \in S$ un único valor complejo $f(z)$ .

Definición 2 — Función real de variable compleja

Una función real de variable compleja es una función $f: S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ , es decir, cuyo recorrido está contenido en $\mathbb{R}$ .

Definición 3 — Función compleja de variable compleja

Una función compleja de variable compleja es una función $f: S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ . Toda función de este tipo puede descomponerse en dos funciones reales $u, v: S \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ :

$f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i\,v(x, y)$

Se dice que $u$ es la parte real de $f$ y $v$ la parte imaginaria.

Ejemplo 1 — Función real de variable compleja

El módulo $f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ , $f(z) = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

El recorrido es $\mathbb{R}_{\geq 0} \subset \mathbb{R}$ , por lo que es una función real de variable compleja.

Ejemplo 2 — Función compleja de variable real

La curva exponencial $f: [0, 2\pi) \to \mathbb{C}$ , $f(t) = \cos t + i \sin t$ .

El dominio es $[0, 2\pi) \subset \mathbb{R}$ , pero el recorrido es complejo.

Ejemplo 3 — Función compleja de variable compleja

Las siguientes funciones $f: S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ son complejas de variable compleja:

(1) Conjugado: $f(z) = \bar{z}$

$z = x + iy \Rightarrow u(x,y) = x,\quad v(x,y) = -y$

(2) Inverso: $f: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}$ , $f(z) = z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2}$

(3) Cuadrado: $f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + 2xy\,i$

(4) Polinómica: $f(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k z^k$ , con $a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$

(5) Racional: dados $p$ , $q$ polinómicos, $r: \{z \in \mathbb{C} : q(z) \neq 0\} \to \mathbb{C},\quad r(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$

Funciones de variable compleja