Conceptos Básicos

Los números complejos se construyen como una extensión de los números reales a partir de pares ordenados, dotados de operaciones de suma y producto que preservan la aritmética real y permiten extraer raíces de números negativos.

Definición y operaciones

Definición 1 — Número complejo

Un número complejo es un par ordenado $z = (x, y)$ con $x, y \in \mathbb{R}$ .

El conjunto de todos los números complejos se denota $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ .

Definición 2 — Parte real e imaginaria

Sea $z = (x, y) \in \mathbb{C}$ . Se define:

Parte real: $\operatorname{Re}(z) = x$
Parte imaginaria: $\operatorname{Im}(z) = y$

Definición 3 — Suma y producto de números complejos

Sean $z_1 = (x_1, y_1)$ y $z_2 = (x_2, y_2)$ números complejos. Se definen:

Suma: $(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2)$

Producto: $(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2,\ x_1 y_2 + x_2 y_1)$

Forma algebráica

Los números reales se identifican con los complejos de la forma $(x, 0)$ , y se introduce la unidad imaginaria:

Definición 4 — Unidad imaginaria

Se define $i = (0, 1)$ . De la regla del producto:

$i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1,\ 0\cdot 1 + 0\cdot 1) = (-1, 0)$

Es decir, $i^2 = -1$ , o equivalentemente $i = \sqrt{-1}$ .

Proposición 5 — Potencias de

i

Las potencias de $i$ son periódicas con período 4. Para todo $k \in \mathbb{Z}$ :

$i^k = \begin{cases} 1 & \text{si } k \equiv 0 \pmod{4} \\ i & \text{si } k \equiv 1 \pmod{4} \\ -1 & \text{si } k \equiv 2 \pmod{4} \\ -i & \text{si } k \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}$

Con estas identificaciones, todo número complejo se escribe como:

Proposición 6 — Forma binómica

Todo $z = (x, y) \in \mathbb{C}$ se puede escribir en forma binómica:

$z = x + iy$

donde $x = \operatorname{Re}(z)$ e $y = \operatorname{Im}(z)$ .

Proposición 7 — Fórmula binomial

Sean $z_1 = x_1 + iy_1$ y $z_2 = x_2 + iy_2$ . El producto en forma binómica es:

$z_1 \cdot z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)$

lo cual se obtiene distribuyendo y usando $i^2 = -1$ :

$(x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1 x_2 + ix_1 y_2 + ix_2 y_1 + i^2 y_1 y_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)$

Proposición 8 — Binomio de Newton en

\mathbb{C}

Sean $z, w \in \mathbb{C}$ y $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ . Entonces:

(z + w)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^{n-k} w^k

donde $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .

Estructura de cuerpo

$(\mathbb{C}, +, \cdot)$ forma un cuerpo: la suma y el producto son conmutativos, asociativos, existe elemento neutro para cada operación ( $0 = (0,0)$ y $1 = (1,0)$ ), todo elemento tiene opuesto aditivo, y todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. La distributividad se hereda de $\mathbb{R}$ .

Proposición 9 — Inverso multiplicativo

Todo $z = x + iy \neq 0$ tiene inverso multiplicativo:

$z^{-1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i\frac{y}{x^2 + y^2}$

Módulo y conjugado

Definición 10 — Módulo de un número complejo

Sea $z = x + iy \in \mathbb{C}$ . El módulo de $z$ es:

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \in \mathbb{R}_{\geq 0}$

Geométricamente, $|z|$ es la distancia del punto $(x,y)$ al origen en el plano complejo.

Proposición 11 — Propiedades del módulo

Sean $z, w \in \mathbb{C}$ . Entonces:

$|zw| = |z|\,|w|$
$|z + w| \leq |z| + |w|$ (desigualdad triangular)
$\bigl||z| - |w|\bigr| \leq |z - w|$
$|z^2| = |z|^2$
$\left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} z_k\right| \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{n} |z_k|$

Teorema 1 — Desigualdad triangular

Para todo $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ :

$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

▶Demostración

Dados $z, w \in \mathbb{C}$ :

|z + w|^2 = (z + w)\,\overline{(z + w)} = (z + w)(\bar{z} + \bar{w}) = z\bar{z} + z\bar{w} + w\bar{z} + w\bar{w}

= |z|^2 + z\bar{w} + \overline{z\bar{w}} + |w|^2 = |z|^2 + 2\,\operatorname{Re}(z\bar{w}) + |w|^2

\leq |z|^2 + 2|z\bar{w}| + |w|^2 = |z|^2 + 2|z|\,|w| + |w|^2 = \bigl(|z| + |w|\bigr)^2

Por tanto $|z + w| \leq |z| + |w|$ .

QED

Corolario 2 — Desigualdad triangular inversa

Para todo $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ :

$|z_1 + z_2| \geq \big||z_1| - |z_2|\big|$

▶Demostración

|z| = |z - w + w| \leq |z - w| + |w| \Rightarrow |z| - |w| \leq |z - w|

Análogamente, $|w| - |z| \leq |z - w|$ . Por lo tanto:

-|z - w| \leq |z| - |w| \leq |z - w| \Rightarrow \bigl||z| - |w|\bigr| \leq |z - w|

QED

Definición 12 — Conjugado

Sea $z = x + iy \in \mathbb{C}$ . El conjugado de $z$ es:

$\bar{z} = x - iy$

Geométricamente, $\bar{z}$ es la reflexión de $z$ respecto al eje real en el plano complejo.

Proposición 13 — Propiedades del conjugado

Sean $z, w \in \mathbb{C}$ .

$\bar{\bar{z}} = z$
$|\bar{z}| = |z|$
$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
$\overline{zw} = \bar{z}\,\bar{w}$
$z\bar{z} = |z|^2$
Si $w \neq 0$ : $\quad z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2}$
$z + \bar{z} = 2\,\operatorname{Re}(z)$ $\quad$ y $\quad$ $z - \bar{z} = 2i\,\operatorname{Im}(z)$
$z = \bar{z}$ si y solo si $z \in \mathbb{R}$

▶Demostración

z \cdot \bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - ixy + ixy - i^2 y^2 = x^2 + y^2 = |z|^2

QED

Topología del plano complejo

Definición 14 — Disco abierto y entorno reducido

Sean $r > 0$ y $z_0 \in \mathbb{C}$ . El disco abierto de radio $r$ y centro $z_0$ es:

D(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| < r\}

También se llama entorno o vecindad de $z_0$ . El entorno reducido es:

D^*(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : 0 < |z - z_0| < r\}

Definición 15 — Puntos interior, exterior y frontera

Sea $S \subset \mathbb{C}$ y $z \in \mathbb{C}$ .

$z$ es interior a $S$ si existe $r > 0$ tal que $D(z, r) \subset S$ .
$z$ es frontera de $S$ si para todo $r > 0$ : $D(z, r) \cap S \neq \emptyset$ y $D(z, r) \cap (\mathbb{C} \setminus S) \neq \emptyset$ .
$z$ es exterior a $S$ si no es ni interior ni frontera.

Observaciones:

Si $z$ es interior a $S$ , entonces $z \in S$ .
Si $z$ es exterior a $S$ , entonces $z \notin S$ .
Si $z$ es frontera de $S$ , puede pertenecer o no a $S$ .

Definición 16 — Interior, frontera, abierto y cerrado

Se definen los conjuntos:

S^\circ = \{z \in \mathbb{C} : z \text{ es punto interior de } S\}

\partial S = \{z \in \mathbb{C} : z \text{ es punto frontera de } S\}

Decimos que $S$ es abierto si $S = S^\circ$ , y cerrado si $\partial S \subseteq S$ .

Definición 17 — Clausura

La clausura de $S \subset \mathbb{C}$ es:

\bar{S} = S \cup \partial S

Definición 18 — Conjunto convexo

Decimos que $S$ es convexo si para todo $z, w \in S$ , el segmento que los une está contenido en $S$ .

Definición 19 — Dominio y región

Un dominio es un conjunto $S \subset \mathbb{C}$ no vacío, abierto y conexo.

Una región es un dominio junto con algunos, ninguno o todos sus puntos frontera.

Definición 20 — Conjunto acotado

Sea $S \subset \mathbb{C}$ . Decimos que $S$ es acotado si existe $R > 0$ tal que $|z| \leq R$ para todo $z \in S$ .

Definición 21 — Punto de acumulación

Sea $S \subset \mathbb{C}$ y $z \in \mathbb{C}$ . Decimos que $z$ es punto de acumulación de $S$ si todo entorno reducido $D^*(z, r)$ contiene al menos un punto de $S$ .

Proposición 22 — Caracterización de conjuntos cerrados

Sea $S \subset \mathbb{C}$ . $S$ es cerrado si y solo si $S$ contiene todos sus puntos de acumulación.